SERIES DE FOURIER 12 pt

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II.

2.1.

ANÁLISIS DE FOURIER: SERIES, INTEGRALES Y TRANSFORMADAS
DE FOURIER
SERIES DE FOURIER

2.1.0. INTRODUCCIÓN
La idea de expandir un función en forma de serie trigonométrica para resolver problemas
relacionados a la vibración de resorte fue usada por Bernoulli, D’Alembert y Euler en 1750,
pero fue Joseph Fourier (1768 – 1830), físico francés, quien desarrolló el método hasta un
nivelpara casos más generales.
Fourier estaba interesado en los problemas de flujo de calor: dada una temperatura inicial
en todos los puntos de una región, quería determinar el cambio en la distribución de la
temperatura a través del tiempo. En 1807, Fourier postuló que una función arbitraria 𝑓(𝑡)
podía ser representada por una Serie Trigonométrica Convergente, de la forma
∞

𝑓 (𝑡) = ∑(𝐴𝑛 𝐶𝑜𝑠 𝑛𝜔𝑡 + 𝐵𝑛𝑆𝑒𝑛 𝑛𝜔𝑡)
0

El resultado fue considerado tan sorprendente que encontró la oposición de los grandes
matemáticos de su época (Piere Simon de Laplace, Poisson y Lagrange), pues, consideraban
que le faltaba rigor matemático al trabajo de Fourier. Debido a esta causa, se le
encomienda la tarea de completar matemáticamente dicho trabajo a los Matemáticos
Alemanes Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet yGeorg Friedrich Bernhard Riemann.
Por esta razón es hasta el año 1822, cuando se publica su célebre Théorie Analytique de la
Chaleur (Teoría Analítica del Calor), el cual se convirtió en un clásico para los métodos
modernos de resolución de Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales, sujetas a las
condiciones de frontera. Seguidor de la teoría matemática de la conducción del calor.
Estableció laecuación diferencial parcial que gobierna la difusión del calor solucionándolo
por el uso de series infinitas de funciones trigonométricas. También puede ser utilizado
para resolver problemas relacionados a las vibraciones estructurales, propagación de
ondas y difusión. Introduce la representación de una función arbitraria periódica como
una serie de senos y cosenos, ahora conocidas como lasseries de Fourier. El trabajo de
Fourier provee el ímpetu para más tarde trabajar en series trigonométricas y la teoría de
las funciones de variables reales.
En la actualidad, el trabajo de Fourier es utilizado en modelar muchos fenómenos físicos y
de ingeniería de áreas tan inimaginables en la época de Fourier como lo son la computación
y la tomografía asistida por computadoras (CAT), la cual es unatécnica moderna de
diagnóstico.
Prof. Alejandro Hernández Espino - Universidad Tecnológica de Panamá

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2.1.1. FUNCIONES PERIÓDICAS. SERIES TRIGONOMÉTRICAS.
 FUNCIONES PERIÓDICAS
DEFINICIÓN: Una función 𝑓(𝑡) es una “Función periódica con periodo 𝑇”, si para toda 𝑡 en
el dominio de la función 𝑓(𝑡) y todo entero 𝑛:
𝑓(𝑡 + 𝑛𝑇) = 𝑓(𝑡)
ONDA SERPENTINA

𝑓(𝑡)
𝑘
−3𝑎
−2𝑎

−𝑎

𝑎

0

2𝑎

3𝑎

4𝑎

−𝑘

𝑇 =2𝑎

 ANOTACIONES IMPORTANTES:
DEFINICIÓN: El intervalo entre dos replicas sucesivas de la gráfica de función 𝑓(𝑡) se le
denomina “Periodo de la función” y lo denotamos por “𝑇”.
DEFINICIÓN: Se denomina “frecuencia de la función 𝑓(𝑡)” al número de repeticiones por
unidad de tiempo “𝑡” y se escribe como el inverso del periodo 𝑇
1
Frecuencia: 𝑓 =
𝑇
Prof. Alejandro Hernández Espino - UniversidadTecnológica de Panamá

𝑡

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DEFINICIÓN: El Término “Frecuencia Circular” se utiliza en las aplicaciones en ingeniería, la
denotamos como “ω” y se define como:
2𝜋
𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐶𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 = (2𝜋)(𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎) → 𝜔 = (2𝜋)(𝑓) → 𝜔 =
𝑇
La Frecuencia Circular se mide en radianes por segundos. Es común eliminar el término
“circular” y decir simplemente “Frecuencia”

 SERIES TRIGONOMÉTRICAS
La representación de unafunción en la forma de una Serie es una práctica bastante común
en Matemática y es practicada desde la antigüedad. Las más comunes son las “Series de
Potencia”, que tiene la forma:
∞

𝑓 (𝑥 ) = ∑ 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎3 𝑥 3 + ⋯
𝑛=0

Donde el “conjunto base” son las funciones de potencia: {1, 𝑥, 𝑥 2 , 𝑥 3 , … } y las más conocidas
son:
∞
𝑥𝑛
𝑥2 𝑥3
𝑥
𝑒 = ∑
= 1+𝑥+ + +⋯
𝑛!
2! 3!
𝑛=0

∞...