series de potencias




GUIA 8

Soluciones en series de potencias

El Teorema Fundamental de existencia y unicidad de soluciones permite definir una funci´on x = x(t) como la u´nica soluci´on de un problema de valores iniciales. Un problema de valores iniciales en el punto t = t0 consiste en una ecuaci´on diferencial de orden n

dn x

dx dn−1x
dtn = f

junto con n condiciones de la forma
t, x, , .. . ,
dt dtn−1

dx (1)

dn− 1 x

(n 1)
x(t0) = x0,
dt (t0) = x0 , . . . ,
dtn−1 (t0) = x0 .

Muchas de las llamadas funciones especiales, que aparecen en relaci´on con diversos problemas tanto de la matem´atica pura como de la matem´atica aplicada, surgen de forma natural en este contexto. Por ejemplo, las funciones de Bessel y los polinomios de Hermite y deLegendre son soluciones de las respectivas ecuaciones:

ecuaci´on de Bessel: t2 d x + t dx + t2


p2 x = 0,
dt2 dt −
d2x dx
ecuaci´on de Hermite:
dt2 − 2t dt + λ x = 0,
d2 x dx
ecuaci´on de Legendre: 1 t2 2t
dt2 dt

+ λ x = 0.

Tambi´en las funciones del c´alculo elemental se pueden caracterizar en t´erminos de ecua- cionesdiferenciales. As´ı, la funci´on exponencial x = et es la u´nica soluci´on del problema de valor inicial
dx
dt = x, x(0) = 1,
mientras que la funci´on x = sen t puede verse como la soluci´on del problema de valor inicial

d2x
dt2 + x = 0, x(0) = 0, x0 (0) = 1.

Se deja al lector la tarea de encontrar un problema de valores iniciales que determina a la funci´on x = cos t.
Varias de las funcionesespeciales, entre ellas las funciones de Bessel y los polinomios de Hermite y Legendre mencionados antes, se obtienen como soluciones de ecuaciones lineales homog´eneas de segundo orden

d2 x dx
dt2 + a(t) dt + b(t) x = 0,

cuyos coeficientes a(t) y b(t) son funciones racionales de t, esto es, son cocientes de polinomios en t. En general no existen m´etodos que permitan calcular lassoluciones de estas ecuaciones



en t´erminos de funciones elementales. Si en un problema de inter´es pr´actico se requiere del estudio de una de estas funciones soluci´on es necesario recurrir a otras t´ecnicas.
El m´etodo de las soluciones en series, utilizado por Newton en sus Philosophia Natura- lis Principia Mathematica (1686), es uno de los m´etodos m´as antiguos de la teor´ıa de lasecuaciones diferenciales. Consiste en determinar los coeficientes c0 , c1 , c2 . . . de modo que la funci´on
∞
x(t) = c0 + c1 (t − t0 ) + c2 (t − t0 )2 + · · · = X cn (t − t0 )n (1)
n=0
sea soluci´on de una ecuaci´on dada, en un intervalo alrededor del punto t = t0.
Ejemplo 1. Consideremos el problema de valor inicial
dx
dt = x, x(0) = 1.
Si suponemos que la soluci´onbuscada x = x(t) tiene una expansi´on en serie de potencias alrededor del punto t0 = 0, entonces
∞
x(t) = c0 + c1 t + c2 t2 + . . . = X cn t n , (2)
n=0
para ciertos coeficientes c0 , c1 , c2 , . . .. Derivando t´ermino a t´ermino se obtiene la expansi´on para la derivada
dx 2
dt = c1 + 2c2 t + 3c3 t
∞
+ . . . = X n cn tn=1

n−1 .
Sustituyendo ahora en la ecuaci´on dx − x = 0 obtenemos

c1 + 2c2 t + 3c3 t2 + · · · − c0 + c1 t + c2 t2 + . . . = 0

Sumando t´erminos se concluye que
∞
(c1 − c0 ) + (2c2 − c1) t + (3c3 − c2 ) t2 + . . . = X ((n + 1) cn+1 − cn ) tn = 0.
n=0
Teniendo en cuenta la unicidad de las expansiones en series de potencias, el coeficiente de cada t´ermino tn en la serie anterior debeser igual a 0; por lo tanto para todo n = 0, 1, 2, . . . se sigue que
(n + 1) cn+1 − cn = 0,
de donde se tiene una relaci´on de recurrencia para los coeficientes cn :
c = cn , n = 0, 1, 2, . . . .
n+1 n + 1
− = c n−2
n n(n−1)
= · · · =
c0 . Reemplazando t = 0 en (2) se sigue que
x(0) = c0 de donde la condici´on inicial x(0) = 1 implica c0 = 1, de forma que...