series numericas

Cap¶
³tulo 6
Series Num¶ricas.
e
Problemas resueltos
Salvador Vera Ballesteros
www.satd.uma.es/matap/svera

6.1

Series num¶ricas. De¯niciones
e

De¯nici¶n 6.1 (Serie) Dada una sucesi¶n num¶rica in¯nita:
o
o
e
fang = fa 1; a2; a 3; ¢ ¢ ¢ ; an; ¢ ¢ ¢ g

donde a n = f(n)

se llama serie num¶rica a la suma indicada de los in¯nitos t¶rminos de dicha sucesi¶n:
e
e
o
1
X
n=1an = a1 + a2 + a 3 + ¢ ¢ ¢ + an + ¢ ¢ ¢

los n¶meros a1; a 2; a3; ¢ ¢ ¢ ; a n; ¢ ¢ ¢ se llaman t¶rminos de la serie y an se denomina t¶rmino
u
e
e
general.
De¯nici¶n 6.2 (Suma parcial) Se llama suma parcial n-sima a la suma de los n primeros
o
t¶rminos de la serie
e
n
X
Sn = a1 + a2 + a3 + ¢ ¢ ¢ + an =
ak
k=1

De¯nici¶n 6.3 (Convergencia y Suma de la serie) Una serie se diceconvergente si la
o
sucesi¶n formada con sus sumas parciales fSng es convergente.
o
Se llama suma de la serie al l¶mite de la sucesi¶n formada con sus sumas parciales.
³
o
lim Sn = S

n!1

,
1

1
X
n=1

an = S

¶
CAP¶
ITULO 6. SERIES NUMERICAS.

2

Por el contrario, si la sucesi¶n de las sumas parciales fSn g no tiene un l¶
o
³mite ¯nito, entonces se
dice que la seriees divergente. (Se distinguen las series divergentes in¯nitas, cuando el l¶
³mite
es in¯nito; de las oscilante, cuando el l¶
³mite no existe.)
De¯nici¶n 6.4 (Resto de la serie) Se llama resto de la serie a la suma indicada de los
o
t¶rminos de la serie desde un lugar en adelante.
e
Rn = an+1 + an+2 + ¢ ¢ ¢ =

1
X

ak =

k=n+1

1
X

an+k

k=1

Se tiene:
1
X
n=1

6.1.1an = a1 + a2 + ¢ ¢ ¢ + an + ¢ ¢ ¢ = [a1 + a 2 + ¢ ¢ ¢ + an ] + [an+1 + an+2 + ¢ ¢ ¢ ] = Sn + Rn

Dos series notables

De¯nici¶n 6.5 (Serie geom¶trica) Se llaman series geom¶tricas aquellas series en las que
o
e
e
cada t¶rmino (salvo el primero) se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad constante
e
llamada raz¶n:
o
a n+1 = r ¢ an
Es decir:
1
1
X
X
2
n
an = a0 + a 1+ a2 + ¢ ¢ ¢ + an + ¢ ¢ ¢ = a0 + r ¢ a0 + r ¢ a0 + ¢ ¢ ¢ + r ¢ a0 + ¢ ¢ ¢ =
a0r n
n=0

n=0

Teorema 6.1 La serie geom¶trica es convergente para jrj < 1 y su suma es
e
S=

1
X

n

a 0r = a0

n=0

1
X

rn =

n=0

a0
1¡r

Para jrj ¸ 1 la serie geom¶trica es divergente.
e
De¯nici¶n 6.6 (Serie arm¶nica) Se llama serie arm¶nica a la serie:
o
o
o
1
X1
1 1
1
= 1+ ++¢¢¢ + + ¢¢¢
n
2 3
n
n=1

Y, en general, se llaman series arm¶nicas (generalizadas) a las que son del siguiente tipo:
o
1
X 1
1
1
1
= 1+ p + p + ¢¢¢ + p + ¢¢¢
np
2
3
n
n=1

(a estas series tambi¶n se les llama p-series).
e

para

p>0

6.2. TEOREMAS DE CONVERGENCIA

3

Teorema 6.2 La serie arm¶nica es convergente para p > 1 y divergente para p · 1
o
Ejemplo 6.1 De laserie

1
X
n=1

de¯nida por:

an se sabe que la sucesi¶n de las sumas parciales fSng viene
o
Sn =

2n + 3
n+4

8n 2 N

Hallar:
(a) El t¶rmino general an de la serie.
e
(a) El car¶cter y la suma de la serie.
a
Soluci¶n:
o
(a) El primer t¶rmino de la serie a 1 coincide con S1, luego:
e
a1 = S1 = 1
El resto de los t¶rminos, para n ¸ 2, se obtienen de la diferencia:
e
an= Sn ¡ Sn¡1 =

2n + 3 2n + 1
5
¡
=
n+4
n +3
(n + 3)(n + 4)

N¶tese que, en este caso, el primer t¶rmino no sigue la regla general, es decir, la serie propuesta
o
e
vendr¶a dada por la expresi¶n:
³
o
1
X

an = 1 +

n=1

1
X

5
(n + 3)(n + 4)
n=2

(b) La serie converge, ya que se puede calcular su suma.
2n + 3
=2
n!1 n + 4

S = lim Sn = lim
n!1

6.2

Teoremasde convergencia

Teorema 6.3 (Convergencia del resto) Si una serie converge, entonces cualquiera de sus
restos tambi¶n converge. Y si uno de los restos converge entonces toda la serie converge.
e
a1 + a2 + a3 + ¢ ¢ ¢

convergente
1
X
n=1

()

an convergente

an+1 + an+2 + an+3 + ¢ ¢ ¢
,

convergente

Rn convergente

Es decir, la convergencia de una serie no se altera si...