Series y sucesiones

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
UNIDAD CULHUACAN






SERIES Y SUCESIONES









Sucesiones

Definición.- Una sucesión matemática es un conjunto ordenado de objetos matemáticos, generalmente números. Cada uno de ellos es denominado término (también elemento o miembro) de la sucesión y al número de elementosordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión.

En muchos problemas cotidianos se presentan sucesiones, como por ejemplo los días del mes, ya que se trata del conjunto {1, 2, 3, 4, 5,..., 29, 30}; o bien cuando por alguna razón se tiene solamente al conjunto de los números pares {2, 4, 6, 8, 10,...}; o quizás los nones {1, 3, 5, 7, 9,...}.
Existe siempre una reglabajo la cual se forma el siguiente elemento de la sucesión a partir del primero. En el caso del conjunto de los pares y también de los nones, la regla es sumar 2 al último número formado.

Ejemplos.-

Ej. 1: Investigar la regla de formación de la siguiente sucesión:

{7, 10, 13, 16, 19, 22, 25,…}

Solución: Puede verse fácilmente que cada número se forma sumando 3 al que le precede, por loque esa es la regla.

Ej. 2: Investigar la regla de formación de la siguiente sucesión:

{1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,...}

Solución: En este ejemplo la sucesión está formada por los cuadrados de cada número natural.

Elemento General de la sucesión.-
Después de descubrir la regla que rige a una sucesión, el siguiente paso es encontrar la manera de escribir matemáticamente esta reglamediante una formula, que se denomina elemento general de la sucesión.
El elemento general debe ser una función de n, en donde n solamente pueda tomar valores enteros positivos de manera que empiece con el primer elemento de la sucesión n = 1 para luego tomar el valor del segundo término n = 2 y así “sucesivamente”.

Ej. 3: Deducir la fórmula del elemento general de la siguiente sucesión:{5, 7, 9, 11, 13, 15, ...}

Solución: Se trata de los números nones a partir del 5, lo que significa que la regla de formación de esta sucesión es sumar 2. Por lo tanto, el primer término de la fórmula es 2n .
Para encontrar el segundo término de la fórmula buscada, o sea el desplazamiento, basta hacer n = en 2n, lo que da 2(1) = 2 y comparar con el primer elemento de la sucesión dada que es el5.
La conclusión es que hay que sumar 3 al resultado obtenido en 2(1) para llegar al 5 (primer elemento), el cual es el desplazamiento. Por lo tanto, el elemento general es:



De la misma manera, se puede realizar el proceso inverso para construir una sucesión numérica dada una fórmula de elemento general como en el siguiente ejemplo:

Ej. 4:


para
se obtiene
que es el
n = 1a1 = 3(1) + 2 = 5
primer elemento
n = 2
a2 = 3(2) + 2 = 8
segundo elemento
n = 3
a3 = 3(3) + 2 = 11
tercer elemento
n = 4
a4 = 3(4) + 2 = 14
cuarto elemento
n = 5
a5 = 3(5) + 2 = 17
quinto elemento

Por lo tanto los primeros 5 términos para la sucesión son: {5, 8, 11, 14, 17}.


Tipos de sucesiones.-

-Las sucesiones convergentes son las sucesiones que tienen límitefinito.

-Las sucesiones divergentes son las sucesiones que no tienen límite finito.

-Las sucesiones oscilantes no son convergentes ni divergentes. Sus términos alternan de mayor a menor o viceversa.

-Las sucesiones alternadas son aquellas que alternan los signos de sus términos.

-Se dice que una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior.

-Una sucesión estáacotada inferiormente si todos sus términos son mayores o iguales que un cierto número K, que llamaremos cota inferior de la sucesión.

-Una sucesión está acotada superiormente si todos sus términos son menores o iguales que un cierto número K', que llamaremos cota superior de la sucesión.










Series

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