Series

SERIES

4.1 Definición de Series:
En matemáticas, una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita. Por ejemplo, una serie interesante que aparece enmuchos problemas en ciencia, ingeniería, y matemática es la serie geométrica  donde  indica que la serie continúa indefinidamente.
El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de unnúmero finito n de términos sucesivos, y mediante un pasaje al límite identificar el comportamiento de la serie a medida que n crece indefinidamente.
Una secuencia o cadena «finita», tiene un primer yúltimo término bien definidos; en cambio en una serie infinita, cada uno de los términos suele obtenerse a partir de una determinada regla o fórmula, o por algún algoritmo. Al tener infinitos términos,esta noción suele expresarse como serie infinita, pero a diferencia de las sumas finitas, las series infinitas requieren de herramientas del análisis matemático para ser debidamente comprendidas ymanipuladas.
Una manera común de estudiar una serie particular (siguiendo a Cauchy) es definir una secuencia que consiste en la suma de los primeros  términos.
Por ejemplo, para estudiar la seriegeométrica podemos considerar la secuencia que suma los primeros  términos:

Por lo general, estudiando la secuencia de sumas parciales podemos entender el comportamiento de la serie infinita entera.4.2 Serie Numerica y Convergencia Prueba de la Razon (criterio de D Alembert y Prueba de la Raiz (criteri)).
Es obvio que para que una serie converja, los an deben tender a cero, pero esto no essuficiente. Consideremos la serie armónica, la suma de 1/n, y agrupemos los términos

Cuando m tiende a infinito, también lo hace la suma final, por lo tanto la serie diverge.
Podemos tambiéndeducir algo sobre cuán rápidamente diverge. Usando el mismo agrupamiento de términos, podemos obtener un límite superior de la suma de los primeros términos, las sumas parciales.

o

y las sumas...