series

 SUCESIONES Y SERIES
Sucesiones
1. Definición:
Una sucesión matemática es un conjunto ordenado de objetos matemáticos, generalmente números.
Cada uno de ellos es denominado término  (también elemento o miembro) de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión.
En el campo de las matemáticasuna sucesión es definida como una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos. Aunque esta sea una función usualmente es representada con una notación de subíndices en vez de una notación funcional.
Además las sucesiones se definen como un conjunto de términos formados por  una ley o regla determinada. Es conjunto es una función cuyo dominio son los números enteros positivos (Z+).Para simbolizar un término general se utiliza la letra a ó s, y las variables con la letra minúscula n.
Por ejemplo:
1, 2, 3, 4, 5,.....n,...........
a1, a2, a3, a4, a5, an,...........

1 se aplica en a1, 2 en a2, etc. Llamamos a an el n-ésimo término de la sucesión y esta s denotada por {an}.

2. Dominio general de una Sucesión:
Viene dado por el siguiente método:
a) Para la sucesión{an}= {3+ (-1)n}, los cuatro términos primeros son:
3 + (-1)1, 3 + (-1)2, 3 + (-1)3, 3 + (-1)4,....... R= 2, 4, 2, 4,......


b) Para la sucesión {bn}= {2n/ (1 + n), los cuatro términos primeros son:
2*1 /(1 + 1), 2*2 /(1 + 2), 2.3/(1 + 3), 2*4 /(1 + 4),.....R= 2/2, 2/3, 6/4, 8/5,.....

3. Definición del Límite de una Sucesión:
Se define de la siguiente manera; Si para ð > 0 existe M >0 talque [an - L] < ð siempre que n > M, entonces decimos que el límite de la sucesión {an} es L y escribimos:
Limn-ðð an= L

Las sucesiones que tienen límite (finito) se llaman convergentes y las demás divergentes.
a. Límite de una Sucesión:
Sea f función de una variable real tal que:
Límx-oo f (x) = L
Si {an} es una sucesión tal que f (n) = an para todo entero positivo n, entonces:
Límn-oo an= L
Propiedades de los Límites de las sucesiones:
Si: Límn-oo an= L y Límn-oo bn = K


4. Definiciones
Las diferentes definiciones suelen estar ligadas al área de trabajo, la más común y poco general es la definición de sucesión numérica, en la práctica se usan sucesiones de forma intuitiva.
a. Definición formal
Una sucesión finita  (de longitud r) con elementos pertenecientes a unconjunto S, se define como una función
.
Y en este caso el elemento  corresponde a.
Por ejemplo, la sucesión finita, (de longitud 4) de números primos menores que 10:


Corresponde a la función  (donde  es el conjunto de números primos) definida por:
.

Una sucesión infinita  con elementos pertenecientes a un conjunto S, se define como una función
.
En donde, de forma análoga,  corresponde a.Notación [editar]
Notaremos por  a una sucesión, donde x la identifica como distinta de otra digamos.
La notación es permisiva en cuanto a su modificación si realmente es necesario.

5. Sucesiones numéricas
Una sucesión numérica se formaliza como una aplicación de los números naturales sobre otro conjunto numérico, así por ejemplo:

Una sucesión de N sobre N, como la sucesión deFibonacci.
Puede ser creciente o decreciente.
a. progresión aritmética o en progresión geométrica.
La diferencia básica es que en la sucesión aritmética la razón de cambio entre un miembro y otro es la suma o resta de la misma razón.
En la sucesión geométrica el siguiente número de la sucesión se logra por multiplicar o dividir la razón de cambio.
En cualquier caso la razón de cambio es constantey no puede variar, a menos que el cambio de la razón también corresponda a una sucesión, lo que supone tener una sucesión dentro de otra sucesión.

6. Tipos de sucesiones

a. Sucesión finita:
Se dice que una sucesión es finita si determinamos su último término, por ejemplo el n-ésimo:
Genéricamente: , donde  sería el término general si hiciese falta.
Ejemplo: 100, 99, 98, ... , 1, 0

b....