Sexualidad y amor

6.5.3. Ejercicios resueltos sobre la hipérbola |
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1. Los focos y los vértices de una hipérbola son los puntos: F(5, 0), F’(-5, 0), V1(4, 0) y 
V2(-4, 0), respectivamente. Determine la ecuación de la hipérbola. Dibujar su gráfica e indicar las asíntotas.   
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SOLUCIÓN | |
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Como los focos están sobre el eje x, la ecuación de la hipérbola es de la forma: . |
fig. 6.5.13.En estecaso: a = 4; c = 5, de donde  (Ver fig. 6.5.13.)  En consecuencia, la ecuación de la hipérbola es: .Ahora, Luego, las ecuaciones de las asíntotas son las rectas: , y,  |

2. Dada la hipérbola cuya ecuación viene dada por: . Determine: coordenadas de los focos, de los vértices, ecuaciones de las asíntotas. Trazar la gráfica. |

SOLUCIÓN | |
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La ecuación: , puede escribirse en lasformas equivalentes:La última ecuación corresponde a una hipérbola cuyo eje focal coincide con el eje y  
(fig. 6.5.14.) |
fig. 6.5.14.En este caso: . Luego, .Con estos datos, se tiene: F(0, 4), F’(0, -4), V1(0, 3) y V2(0, -3).Además de la ecuación: , se deduce que las ecuaciones de las asíntotas son las rectas de ecuación:  e . |
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3. Una hipérbola cuyo centro es el punto C(2, 3), tiene susfocos sobre la recta y = 3. Además, la distancia entre los focos es 10 unidades y la distancia entre sus vértices es 8 unidades. Trazar la gráfica y determine: coordenadas de los vértices, focos y ecuaciones de las asíntotas. |

SOLUCIÓN | |
Como la distancia entre los vértices es 8, se sigue que a = 4. Igualmente, como 2c = 10, se sigue que c = 5 y por lo tanto b2 = c2 – a2 = 9. Asi que b =3 (fig. 6.5.15.). |
fig. 6.5.15.Ahora, puesto que los focos están sobre la recta y = 3 (paralela al eje x), la ecuación de la hipérbola pedida tiene la forma:Las coordenadas de los focos son:  y y = 3. Esto es: F(7, 3) y F’(-3, 3).
Igualmente, las coordenadas de los vértices son:  y y = 3. Esto es, V1(6, 3) yV2(-2, 3).Además, de la ecuación: , se deduce que: ; yson las ecuaciones de lasasíntotas.  
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4.  Dada la hipérbola, cuya ecuación en su forma general es: 3y2 – x2 + 4x – 6y – 13 = 0. Determine y grafique: centro, focos, vértices y     ecuaciones de las asíntotas. |

SOLUCIÓN | |
La ecuación general, puede escribirse en las formas equivalentes:Esta última ecuación corresponde a una hipérbola cuyo centro es el punto C(2, 1) y su eje focal es una recta paralela al eje y quepasa por C(2, 1). En esta caso, x = 2 (fig. 6.5.16.) |
fig. 6.5.16.Además, a2 = 4, b2 = 12. Con lo cual: .Las coordenadas de los focos son: x = 2 e . Esto es F(2, 5) y F’(2, -3). Igualmente, las coordenadas de los vértices son: x = 2 e . Esto es V1(2, 3) y V2(2, -1).Las ecuaciones de las asíntotas son las rectas: , e, . |

5 .En el SISTEMA DE NAVEGACIÓN DE LARGO ALCANCE (LORAN, por sus siglasen inglés), una estación principal de radio y una estación secundaria emiten señales que pueden ser recibidas por un barco en el mar (ver fig. 6.5.17.). Aunque un barco recibe siempre las dos señales, por lo regular se halla más cerca de una de las dos estaciones y, por lo tanto, hay cierta diferencia en las distancias que recorren las dos señales, lo cual se traduce en una pequeña diferencia detiempo entre las señales registradas. Mientras la diferencia de tiempo permanezca constante, la diferencia de las dos distancias también será constante. Si el barco sigue una ruta que mantenga fija la diferencia de tiempo, seguirá la trayectoria de una hipérbola cuyos focos están localizados en las posiciones de las dos estaciones de radio. |
fig. 6.5.17.Asi que para cada diferencia de tiempo setiene como resultado una trayectoria hiperbólica diferente, cada una llevando al barco a una posición distinta en la costa. Las cartas de navegación muestran las diferentes rutas hiperbólicas correspondientes a diferencias de tiempo distintas.  Dos estaciones LORAN están separadas 250 millas a lo largo de una costa recta.

a) Un barco registra una diferencia de tiempo de 0.00086 seg....