Señal Triangular Sumada A Una Señal Cuadrada

COEFICIENTES DE FOURIER Y RECONSTRUCCIÓN DE UNA SEÑAL TRIANGULAR SUMADA A UNA SEÑAL CUADRADA
Nicolás Herrera Flórez
Resumen— En este artículo se expone el cálculo analítico de los coeficientes de Fourier de una señal triangular sumada a una señal cuadrada teniendo en cuenta las series de Fourier y la simulación de su respectiva reconstrucción aplicando un algoritmo en MATLAB.

PalabrasClaves— Coeficientes de Fourier, Series de Fourier, Señal triangular, Señal cuadrada, Reconstrucción.
Introducción

L
a serie de Fourier es una herramienta para analizar señales periódicas descomponiéndolas en la sumatoria de exponenciales complejas. Con los coeficientes de las series de Fourier es posible reconstruir una señal en el tiempo, el cálculo de estos se define como la transformadamatemática del domino del tiempo al dominio de frecuencia, por lo cual los coeficientes de Fourier muestran el espectro de la señal original en el tiempo. [1,2]

métodos y resultados

Para reconstruir la señal resultado de la suma de una señal triangular con una señal cuadrada, se tomaron los coeficientes de la señal triangular y de la señal cuadrada y se diseñó un algoritmo de reconstrucciónaplicado en Matlab para observar la señal.

Primero se tomó una señal cuadrada con periodo T y ancho T1, aplicando la fórmula para calcular los coeficientes de Fourier:

ak=1T-T/2T/2xte-jkwotdt[1]

Entonces:

ak=2sin⁡(kwoT1)kwoT[2]

Siendo

wo=2πfo

Y según la formula [1] se hallan los coeficientes iniciales para k=0, se tiene que:

a0=1T-T2T2xtdt3

Aplicando la formula [3] tenemosque:

a0=2T1T

Después se toma la señal triangular, esta se toma con un periodo de:

T=2*T1

Y la señal x(t) está representada por la Ecuación 4.

xt=1T1t+1, &-T1≤t≤0-1T1t+1, &0≤x≤T1 (4)

Se hallan los Coeficientes de Fourier de la Señal x(t) aplicando la integral de la ecuación 1 como se ve en la Ecuación 5.ak=1T-T101T1te-jkWotdt+-T10e-jkWotdt+0T1-1T1te-jkWotdt+0T1e-jkWotdt (5)

Se divide la integral en varias partes para desarrollarla de manera eficiente, primero se halla la integral común entre las integrales de la ecuación 5.

ak1=te-jkwotdt (6)

Se desarrolla la integral de la ecuación 6 por el método de partes:

u=t ; dv=e-jkwot

du=dt;v=e-jkwot-jkwo

Entonces:

ak1=te-jkwot-jkwo-1-jkwoe-jkwotdt

ak1=te-jkwot-jkwo-e-jkwot(-jkwo)2 (7)De acuerdo a las Ecuaciones 5 y 7 se tiene que:

P1=-T101T1te-jkWotdt=1T1[te-jkwot-jkwo-e-jkwot(-jkwo)2]-T10

Por lo tanto la primera parte del desarrollo de la integral esta dado en la ecuación 8:

P1=1T11k2wo2-T1ejkwoT1jkwo-ejkwoT1k2wo2(8)

De igual manera según las Ecuaciones 5 y 7 se tiene que:

P2=0T1-1T1te-jkWotdt=-1T1[te-jkwot-jkwo-e-jkwot(-jkwo)2]0T1

Por lo tanto la segundaparte del desarrollo de la integral está dada por la ecuación 9:

P2=-1T1-1k2wo2+T1e-jkwoT1jkwo+e-jkwoT1k2wo2(9)

De la suma de la primera y segunda parte del desarrollo de la integral se obtiene la ecuación 10.

P2+P1=2T1k2wo2-ejkwoT1k2wo2+e-jkwoT1k2wo2-1T1ejkwoT1k2wo2-1T1e-jkwoT1k2wo2

Entonces:

P2+P1=2T1k2wo2-2sen(kwoT1)kwo-2cos(kwoT1)T1k2wo2 (10)

Se desarrollan las partes 5 y 6 dela integral y se obtiene el resultado en las ecuaciones 12 y 13 respectivamente:

P3=-T10e-jkWotdt=(e-jkwot-jkwo]-T10

P3=-1jkwo+ejkwoT1jkwo(12)

P4=0T1e-jkWotdt=(-e-jkwot-jkwo]0T1

P4=1jkwo-e-jkwoT1jkwo(13)

La suma de las partes 5 y 6 se obtiene en la ecuación 14.

P3+P4=2sen(kwoT1)kwo (14)

Finalmente se obtienen los coeficientes ak al sumar todas las partes de la integral(Ecuación 15):

ak=1T2T1k2wo2-2cos(kwoT1)T1k2wo2=2-2cos⁡(kwoT1)T(T1)k2wo2 (15)

Después de obtener los coeficientes de la señal triangular y la señal cuadrada se aplicó el algoritmo de reconstrucción en MATLAB siguiendo la propiedad de las transformadas en donde según la expresión de la ecuación (16) la sumatoria de los coeficientes de Fourier multiplicados por una exponencial compleja dan como...