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APUNTES DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Coordenadas en el plano

Para representar los puntos en el plano, necesitamos dos rectas perpendiculares, llamados ejes cartesianos o ejes de coordenadas:

[pic]

El eje horizontal se llama eje X o eje de abscisas.

El eje vertical se llama eje Y o eje de ordenadas.

El punto O, donde se cortan los dos ejes, es el origen de coordenadas.Las coordenadas de un punto cualquiera P se representan por (x, y).

La primera coordenada se mide sobre el eje de abscisas, y se la denomina coordenada x del punto o abscisa del punto.

La segunda coordenada se mide sobre el eje de ordenadas, y se le llama coordenada y del punto u ordenada del punto.

Representación gráfica de puntos

Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatropartes iguales y a cada una de ellas se les llama cuadrante.

[pic]

Signos

|  |Abscisa |Ordenada |
|1er cuadrante |+ |+ |
|2º cuadrante |− |+ |
|3er cuadrante |− |− |
|4º cuadrante |+ |− |

[pic]

El origen de coordenadas, O,tiene de coordenadas: (0, 0).

[pic]

Los puntos que están en el eje de ordenadas tienen su abscisa igual a 0.

[pic]

Los puntos situados en el eje de abscisas tienen su ordenada igual a 0.

[pic]

Los puntos situados en la misma línea horizontal (paralela al eje de abscisas) tienen la misma ordenada.

[pic]

Los puntos situados en una misma línea vertical (paralela al eje deordenadas) tienen la misma abscisa.

Características de las gráficas

Gráfica creciente

Una gráfica es creciente si al aumentar la variable independiente aumenta la otra variable.

[pic]

Gráfica decreciente

Una gráfica es decreciente si al aumentar la variable independiente disminuye la otra variable.

[pic]

Gráfica constante

Una gráfica es constante si al variar la variableindependiente la otra permanece invariable.

[pic]

Una gráfica puede tener a la vez partes crecientes y decrecientes.

[pic]

Concepto de función

Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda, llamada imagen.

El precio de un viaje en taxi viene dado por:

y = 3 + 0.5 x

Siendo x el tiempo enminutos que dura el viaje.

Como podemos observar la función relaciona dos variables. x e y.

x es la variable independiente.

y es la variable dependiente (depende de los minutos que dure el viaje).

Las funciones se representan sobre unos ejes cartesianos para estudiar mejor su comportamiento.

|x |10 |20 |30 |
|y= 3 + 0.5x |8 |13 |18|

[pic]

La función lineal es del tipo:

y = mx

Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.

y = 2x

|x |0 |1 |2 |3 |4 |
|y = 2x |0 |2 |4 |6 |8 |

[pic]

Pendiente

La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.

Si m > 0 la función es creciente y ángulo que formala recta con la parte positiva del eje OX es agudo.

[pic]

Si m < 0 la función es decreciente y ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.

[pic]

La función afín es del tipo:

y = mx + n

m es la pendiente. Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.

[pic]

n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de corte de la recta con el eje deordenadas.

[pic]

La función constante es del tipo:

y = n

El criterio viene dado por un número real.

La pendiente es 0.

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

[pic]

Gráficas y funciones. Ejercicios y problemas resueltos

1.- Representa las siguientes rectas:

1.-  y = 2

[pic]

2.-  y = −2

[pic]

3.- y = x

|x |y = x...
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