Simetria

SIMETRÍA CON RESPECTO AL EJE POLAR

Si la curva representada por la ecuación r = f(θ) es simétrica con respecto al
eje polar, esto significa que cualquier punto que pertenezca a ella, tiene unpunto simétrico con respecto a dicho eje que también pertenece a la curva. Un
punto simétrico a P(r, θ) con respecto al eje polar es:
Q(r, - θ) ó Q( - r, π -θ).

TEOREMA. La curva representada por r= f(θ) es simétrica con respecto al eje polar si al sustituir
i) θ por -θ ó
ii) r por - r y θ por π – θ


La ecuación no cambia o se transforma en una ecuación equivalente.EJERCICIO:


Determine si la curva r = 2sen2θ es simétrica con respecto al eje polar
.
r = 2sen2θ … (1)

Aplicando el criterio i) θ por –θ a la Ec.(1)
r = 2sen2(- θ ) = -2sen2θ… (2) Ec.
TransformadaNOTA: sen(-θ) = -sen(θ) de Trigonometría
Dado que la Ec. Transformada (2) tiene signo negativo, se le aplica el criteriode equivalencia
P(r, θ) → P(-r, θ ± (2n - 1)π)
Quedando la siguiente ecuación:-r = - 2sen2[θ + (2n -1)π]; o bien-r = - 2sen[2θ + 2(2n -1)π]
Multiplicando la ecuación anterior por menos uno r = 2sen[2θ + 2(2n -1)π] Ec. Transformada de (2)
De la identidad trigonométrica sen(α + β)
sen(α+ β) = senαcosβ + senβcosα

En donde α = 2θ; y β = 2(2n -1)π], quedando: sen2 θ cos2(2n – 1) π + sen2(2n – 1) π cos2θ

Sustituyendo esta ecuación en la Ec. Transformada (2), se tiene que:r = 2[sen2 θ cos2(2n – 1) π + sen2(2n – 1) π cos2θ] Para que la ecuación transformada de (2) sea igual a la Ec. (1), se tiene quecumplir que:
r = 2sen2θ … (1).



sea igual a la EcuaciónTransformada…(2)
r = 2[sen2θ cos2(2n – 1) π + sen2(2n – 1) π cos2θ] Con n = 1;

aplicado a la ecuación anteriorsen2θ cos2(2n – 1) π + sen2(2n – 1) π cos2θ

Con n = 1, la ecuación Transformada (2) se reduce a r = 2sen2θ, que es igual a
la ecuación (1) COMO n = 1, Y ES UN NÚMERO NATURALHAY EQUIVALENCIA ENTRE LAS EC. (1) Y SU TRANSFORMADA(2) POR TANTO, LA CURVA: r = 2sen2θ, ES SIMÉTRICA CON RESPECTO ALEJEPOLAR

EJERCICIO:
Determinar si la curva r = 4senθ es simétrica con respecto al eje polar.

r = 4senθ … (1)

Aplicando el criterio i) θ por –θ a la Ec. (1) r = 4sen(- θ ) = -4senθ… (2) Ec. TransformadaNOTA: sen(- θ) = -sen(θ) de
Trigonometría Dado que la Ec. Transformada (2) tiene signo negativo, se le aplica el criteriode equivalencia
P(r, θ) → P(-r, θ ± (2n - 1)π)
Quedando la siguienteecuación:
-r = - 4sen[θ + (2n -1)π];


Que es la Ecuación Transformada (2) de la ecuación original, denominada Ec. (1)Multiplicando la ecuación anterior por menos uno
r = 4sen[θ + (2n -1)π] Ec. transformada de (1)

De la identidad trigonométrica sen(α + β) sen(α + β) = senαcosβ + senβcosα

En donde α = θ; y β = (2n -1)π], queda:
senθcos(2n – 1)π + sen(2n – 1)πcosθ
Sustituyendo estaecuación en la Ec. Transformada (2), se tiene que:
r = 4[senθcos(2n – 1)π + sen(2n – 1)πcosθ]
Para que la ecuación transformada de (1) sea igual a la Ec. (1), se tiene quecumplir que:
r = 4senθ = r = 4[senθcos(2n – 1)π + sen(2n – 1)πcosθ]
Con n=1/2; aplicado a la ecuación anterior senθcos(2n – 1)π + sen(2n – 1)πcosθ

Con este valor de “n” se obtiene que la ecuación Transformada (2) sereduce ar = 4senθ, que es igual a la ecuación (1)
PERO n = ½ , NO ES UN NÚMERO NATURAL, POR TANTO, NO HAYEQUIVALENCIA ENTRE LAS EC. (1) Y SU EC. TRANSFORMADA (2), LO QUE
INDICA QUE LA CURVA r = 4senθ, NO ES SIMÉTRICA CON RESPECTO AL
EJE POLAR


SIMETRÍA CON RESPECTO AL EJE COPOLAR


TEOREMALa curva representada por la ecuación r = f(
θ) es simétrica con respecto al eje
copolar si alsustituir:
θ por π
-
θ ó
ii) r por -
r y θ por –θ
La ecuación no cambia o se transforma en una ecuación equivalente.EJERCICIO:
Determinar si la curva de ecuación polar r = θ + 2π es simétrica con respecto al
eje copolar.Considerando que la ecuación original es la ecuación (1):
r = θ + 2π … (1)
Aplicando el criterio de simetría copolar
i) θ por π
-
θ a la Ec. (1), se tiene:

r...