simplex resueltos

Programación Lineal para la Ingeniería Técnica

EJEMPLO 1.
En una granja agrícola se desea criar conejos y pollos como complemento en su
economía, de forma que no se superen en conjunto las 180 horas mensuales
destinadas a esta actividad. Su almacén sólo puede albergar un máximo de 1000
kilogramos de pienso. Si se supone que un conejo necesita 20 kilogramos de
pienso al mes y un pollo 10kilogramos al mes, que las horas mensuales de
cuidados requeridos por un conejo son 3 y por un pollo son 2 y que los beneficios
que reportaría su venta ascienden a 500 y 300 pesetas por cabeza respectivamente,
hallar el número de animales que deben criarse para que el beneficio sea máximo.
Solución:
Definimos las variables originales como:
x1 = número de conejos.
x2 = número de pollos.
Lafunción a maximizar, beneficio obtenido, será:
f (x1 , x2 ) = 500 x1 + 300 x2
Las restricciones lineales del problema se formulas como:
20 x1 + 10 x2 ≤ 1000
3x1 + 2 x2 ≤ 180

(para la disponibilidad del pienso)
(para la disponibilidad de horas)

Finalmente, tenemos las restricciones de no negatividad de las variables:
x1 , x2 ≥ 0

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Programación Lineal para la Ingeniería TécnicaEl planteamiento del problema queda, por tanto, de la siguiente manera:
max
s.a.:

f (x1 , x2 ) = 500 x1 + 300 x2
20 x1 + 10 x2 ≤ 1000
3 x1 + 2 x2 ≤ 180
x1 , x2 ≥ 0

El siguiente paso consistirá en pasar a la forma estándar, esto es,
introducimos variables de holgura en las dos restricciones verdaderas,
obteniendo, una vez realizadas las simplificaciones oportunas:
max
s.a.:

500x1 + 300 x2
H
2 x1 + x2 + x3 = 100
H
3 x1 + 2 x2 + x4 = 180
H
x1 , x2 , x3H , x4 ≥ 0

La solución factible básica inicial es:
x1 = x2 = 0 , x3H = 100 ,

H
x4 = 180

Así, obtenemos la tabla inicial del algoritmo del Simplex:
x1

x2

x3H

H
x4

H
x3

100

2

3

1

0

H
4

180

3

2

0

1

500

300

0

0

x

Continuamos con las siguientesiteraciones:
x1

116

50
30

x3H

H
x4

1
0

1/2
1/2

1/2
-3/2

0
1

0

x1
H
x4

x2

50

-250

0

Programación Lineal para la Ingeniería Técnica

x1
20
60

H
x3

H
x4

1
0

0
1

2
-3

-1
2

0

x1
x2

x2

0

-100

-100

Obtenemos, por tanto, la solución óptima cuyo valor es:
*
x1* = 20 conejos, x2 = 60 pollos, Z * = 28000pesetas.

Este problema puede ser resuelto también gráficamente:

D
C

A
B
500x + 300y = 0

3x + 2y = 180
20x + 10y = 1000

Ahora, calculamos los vértices y el valor que toma en ellos la función
objetivo:
A = (0,0), B = (50,0), C = (20,60), D = (0,90)
f (A) = 0, f(B) = 25000, f(C) = 28000, f(D) = 27000
Por tanto, obtenemos la misma solución: 20 conejos y 60 pollos, con unbeneficio máximo de 28000 pesetas.

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Programación Lineal para la Ingeniería Técnica

EJEMPLO 2.
En una fábrica de dulces navideños se preparan dos surtidos para lanzarlos al
mercado. El primero se vende a 450 pesetas y contiene 150 gramos de polvorones,
100 gramos de mantecados y 80 gramos de roscos de vino. El segundo surtido se
vende a 560 pesetas y contiene 200 gramos de polvorones,100 gramos de
mantecados y 100 gramos de roscos de vino. Se dispone de un total de 200
kilogramos de polvorones, 130 kilogramos de mantecados y 104 kilogramos de
roscos de vino. La empresa de embalajes sólo le puede suministrar 1200 cajas.
¿Cuántos surtidos de cada tipo convendría fabricar para que el beneficio sea
máximo?.
Solución:
Definimos las variables originales como:
x1 = número desurtidos del tipo 1.
x2 = número de surtidos del tipo 2.
La función a maximizar, beneficio obtenido, será:
f (x1 , x2 ) = 450 x1 + 560 x2
Las restricciones lineales del problema se formulan como:
150 x1 + 200 x2 ≤ 200000
100 x1 + 100 x2 ≤ 130000
80 x1 + 100 x2 ≤ 104000
x1 + x2 ≤ 1200

(para la disponibilidad de los polvorones)
(para la disponibilidad de los mantecados)
(para la...