Sistema de coordenadas









 Un sistema de coordenadas es un sistema que utiliza uno o más números (coordenadas) para determinar unívocamente la posición de un punto o de otro objeto geométrico.1 El orden en que se escriben las coordenadas es significativo y a veces se las identifica por su posición en una tupla ordenada; también se las puede representar con letras, como por ejemplo «la coordenada-x». Elestudio de los sistemas de coordenadas es objeto de la geometría analítica, permite formular los problemas geométricos de forma "numérica".2
Un ejemplo corriente es el sistema que asigna longitud y latitud para localizar coordenadas geográficas. En física, un sistema de coordenadas para describir puntos en el espacio recibe el nombre de sistema de referencia.
En la resolución de problemas físicosy matemáticos es común la estrategia del cambio de coordenadas. En esencia un cambio de coordenadas supone cambiar las variables de las que depende el problema, a otras coordenadas diferentes en las que el problema puede tener una forma equivalente pero más simple, que permite encontrar la solución con mayor facilidad.
Más formalmente un cambio de coordendas puede representarse porun difeomorfismo o aplicación biyectiva y diferenciable (con inversa también diferenciable) entre dos conjuntos de , aquí llamados  y :

Este cambio de variable permite por ejemplo reescribir integrales del siguiente modo:

Donde:
 representa la función que pretende integrarse expresada en las viejas y las nuevas coordendas.
 es el jacobiano del cambio de coordenadas.
 es el dominio de integraciónexpresado en las viejas y las nuevas coordenadas.
Para transformar o reescribir ecuaciones diferenciales en términos de las nuevas coordenadas se usan las leyes de tranformación tensorial:


Sistema de coordenadas esféricas
El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia ydos ángulos.
En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio , el ángulo polar ocolatitud θ y el azimut φ.
Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de -90º a 90º (de -π/2 a π/2radianes), siendo el cero el plano XY. También puede variar la medida del acimut, según se mida el ángulo en sentido reloj ocontrarreloj, y de 0º a 360º (0 a 2π en radianes) o de -180º a +180º (-π a π).
Se debe tener en cuenta qué convención utiliza un autor determinado.
Las líneas coordenadas son aquellas que se obtienen variando una de las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas esféricas, estas son:
Líneas coordenadas : Semirrectas radiales partiendo del origen de coordenadas.
Líneascoordenadas θ: Semicírculos verticales (meridianos)
Líneas coordenadas φ: Circunferencias horizontales (paralelos).

Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijando sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son:
Superficies =cte.: Esferas con centro en el origen de coordenadas.
Superficies θ=cte.: Conos rectos con vértice en el origen.
Superficiesφ=cte.: Semiplanos verticales.
Las líneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, éste es un sistema ortogonal.

Sistema de coordenadas cilíndricas
Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección deleje.
El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o acimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana.
Un punto  en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ,φ,), donde:
ρ: Coordenada radial, definida como la distancia del punto  al...