Sistema de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas
Definición: Es una ecuación que se desconocen 2 datos y se debe resolver haciendo un sistema de ecuaciones, para anular una de las 2 incógnitas
Soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas
Una ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas soluciones. Cada una de ellas está formada por una pareja de valores (x,y), que gráficamenterepresenta las coordenadas de un punto en el plano. Al dibujar esos infinitos puntos en un sistema de ejes coordenados, se obtiene una recta
El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resume en las siguientes fases:
i. Se despeja la incógnita y en ambas ecuaciones.
ii. Se construye, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas, latabla de valores correspondientes.
iii. Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
iv. En este último paso hay tres posibilidades:
a. Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas x e y. Sistema compatible determinado.
b. Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones queson las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. Sistema compatible indeterminado.
c. Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. Sistema incompatible

se multiplican los dos miembros de la primera ecuación por 2 con el fin de que el coeficiente de la x sea el mismo en ambas ecuaciones:
4x - 10y = 32
4x + y = 10
Ahora, restandomiembro a miembro se obtiene la ecuación siguiente:
- 11y = 22 → y = 22 : (- 11) → y = - 2.
Y se sustituye en una de las ecuaciones iniciales:
2x - 5(-2) = 16
2x + 10 = 16
2x = 6
x = 3
La solución es x = 3, y = -2.
se representa del siguiente modo:

Consideremos la ecuación . Sus dos variables son “x” e “y”; así, para cualquier valor que le demos a , podremos obtener el valor de , yviceversa.
Por ejemplo, si , el valor de que convierte la ecuación en una identidad es .
Asimismo, si decimos que , el valor de sería .

Podemos seguir dando infinitos valores arbitrarios e , que hacen que la ecuación se convierta en una igualdad. Obtenemos la siguiente tabla dando algunos valores a y despejando el correspondiente valor de :

Cada par de valores e puede ser representado enun plano cartesiano, tomado el valor de como abscisa y el valor de como ordenada. En el gráfico de abajo vemos los puntos que tomamos al azar.

Solución:

Primero damos un valor arbitrario para , por ejemplo ; el valor correspondiente de sería . Para , el valor de es . Ahora graficamos estos dos pares ordenados:

Consistente, Inconsistente o Dependiente



a)
x + 2y = 5
2x + y = 4b)
x + 2y = 3
x + 2y = 5

c)
x + 2y = 3
2x + 4y = 6

Todos estos pares de ecuaciones son sistemas (en general un sistema puede tener el tamaño que sea, pero aquí los hago nada más de dos ecuaciones por simplicidad). Estos se pueden clasificar como consistentes o inconsistentes y como dependientes o independientes:

Decimos que un punto es una solución de un sistema cuando alsustituirlo en las ecuaciones éste tiene sentido. Si esto sucede como en a) (para x = 1, y = 2) o en c) el sistema es CONSISTENTE.

Por otra parte si no existen algún punto tal que cobre sentido en ambos sistemas como en b) decimos que el sistema es INCONSISTENTE.

Ahora si un sistema es DEPENDIENTE, significa que tiene un infinito de soluciones, como en c) (para todo x = 3 -2r, y = r, tiene solución,r puede ser cualquier número)

Si el sistema tiene solamente una solución decimos que el sistema es INDEPENDIENTE, como en a).

Para resumirlo todo, un sistema es:
1. Consistente: cuando tiene POR LO MENOS UNA solución.
2. Inconsistente: cuando NO TIENE solución alguna.
3. Dependiente: cuando tiene un INFINITO de soluciones.
4. Independiente: cuando tiene únicamente UNA solución....