Sistema De Ecuaciones Lineales

SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES


Sea I un Intervalo y [pic], [pic] funciones continuas en I con valores reales o complejos; i,j = 1, …,n. un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales de la forma

[pic]

y se denota abreviadamente por:

[pic] ; [pic]

En forma matricial, el sistema (1) es equivalente a la ecuación

[pic]

donde A(t) = [pic] es una matriz n xn de elementos [pic]y b(t) = ([pic]) es un vector columna cuyas coordenadas son los [pic].

Solución del Sistema
Una familia de funciones [pic] reales o complejos de clase [pic]definidas en un intervalo [pic] se llaman solución del sistema (1) en I o si [pic]
[pic]
[pic] ; [pic]

equivalentemente la familia [pic] es una solución de (1) en [pic] si y sólo si la aplicación[pic] es solución de (2) en [pic], esto es :

[pic] , [pic]

El sistema (1) o la ecuación (2) en I x [pic] se llama lineal y si [pic], lineal homogéneo.

Teorema 1: [pic], existe una única solución [pic] de (2) definida en I tal que [pic]

Corolario 1: Sean [pic]y [pic] soluciones de la ecuación homogénea



(3) ………. [pic]

i) Principio de Superposición: Si a ,b son constantes arbitrarias reales o complejas , entonces:
[pic]

es solución de (3)

ii) Si [pic] para algún [pic], entonces [pic] , [pic]

Observación 1

1) El conjunto A de soluciones [pic] del sistema homogéneo (3) forma un subespacio vectorial del espacio de funciones continuas [pic][pic] y su dimensión es igual a la de E.
[pic]2) La aplicación [pic] con S[pic]es un isomorfismo de espacios vectoriales, es lineal

[pic]
y [pic] por lo cual es biunívoca.
3) Si [pic] forman una base de E, entonces [pic] forman una base de A, esto es,

I) E representa el espacio euclidiano n- dimensional real [pic] o complejo [pic], con norma
[pic] , [pic], [pic]
toda soluciónde (3) se expresa como combinación lineal única (2) de [pic] con coeficientes o reales según sea el caso, así:

[pic]

Matriz Fundamental

Definición: Una matriz [pic] de orden n x n cuyas columnas, forman una base
del espacio de soluciones de (3) se llama “Matriz Fundamental” de (3).

Observación 2

Por el teorema 1, dado [pic] y [pic] una matriz no singular existe una unicamatriz fundamental [pic] tal que [pic]



Valores y Vectores Propios

Definición: Dada una matriz [pic], un numero [pic] es llamado valor propio de A si existe un vector no nulo [pic] para el cual

(4) ………. [pic]
“v” es llamado vector propio correspondiente a [pic] es aquel en el que el campo vectorial apunta en la misma dirección o en la opuesta al mismo vector.Nota: Si v es vector propio correspondiente a [pic] , [pic] también es vector propio para [pic] con [pic].

Lema 1: Sea A una matriz compleja (respectivamente real). Si [pic] es un valor propio complejo (respectivamente valor propio real) de A y V es su vector propio correspondiente, entonces [pic] es una solución de la ecuación compleja (respectivamente real) conocida como “solución delínea recta”.

Proposición 1: Si A es una matriz compleja (respectivamente real) de orden nxn y tiene valores propios complejos (respectivamente valores propios reales) [pic] y vectores propios linealmente independientes [pic] con [pic] entonces la matriz V(t) cuya i- ésima columna, [pic] es [pic] es una matriz fundamental de [pic].

SISTEMAS LINEALES BIDIMENSIONALES

Sea el sistemareal de la forma

(5)……………... [pic]


con a, b, c, d [pic], [pic]. Se dice que (5) es un sistema lineal de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes.
En forma matricial el sistema (5) se expresa como:

(6)………… [pic]


con [pic] ; [pic] y [pic]

A es llamada matriz de los coeficientes.



Puntos de Equilibrio de un Sistema Lineal
Definición: El punto [pic]...