Sistema De Ecuaciones Lineales

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Por: Álvaro A. Ledo

Un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma ordinaria como:
Ax = b

Operaciones Fundamentales
Las operaciones fundamentales que se le pueden efectuar a las ecuaciones (filas) de un sistema lineal de ecuaciones son las siguientes:
a) Intercambio: el orden de las filas puede cambiar.
b)Escalado: multiplicación de una fila por una constante no nula.
c) Sustitución: una fila puede ser reemplazada por la suma de esa fila más un múltiplo de cualquier otra fila
Además, para que un sistema lineal de ecuaciones algebraicas tenga solución única debe cumplir las siguientes dos condiciones:
1. Ser no singular
2. No ser homogénea.

Métodos Directos
Son aquellos que no involucranprocesos infinitos y que en consecuencia, serían exactos, si no existieran errores de redondeo.
* Gauss.
* Gauss - Jordan.

Métodos Iterativos
Parten de una aproximación inicial y que por aplicación de un determinado algoritmo, conducen a aproximaciones sucesivamente mejores en cada caso.
* Jacobi
* Gauss - Seidel      

Los Métodos Numéricos para la solución de Sistemas deEcuaciones Lineales se dividen en dos categorías generales:
1. Métodos exactos
2. Métodos aproximados

Se usan comúnmente dos métodos; la Eliminación Gaussiana y el método de Gauss-Jordan. Se recomienda utilizar la estrategia de pivoteo en cualquier implementación que se haga de estos métodos sobre una computadora. Con la ayuda de esta estrategia, los errores de redondeo disminuyen y seevitan los problemas como división entre cero. Aunque en todos los demás sentidos son iguales, la Eliminación Gaussiana es preferible a  Gauss-Jordan, ya que la primera es un 50% más rápida. Sin embargo, el método de Gauss-Jordan sigue siendo útil ya que se puede modificar un poco de manera que se pueda obtener la matriz inversa como beneficio adicional en los cálculos. Aunque los métodos deeliminación tienen una gran utilidad, el uso de toda la matriz de coeficientes puede ser un factor muy importante cuando se trata de sistemas muy grandes y dispersos.

Teorema Fundamental de Equivalencia:
Puede aceptarse que las siguientes 3 operaciones sobre una matriz ampliada producen otras correspondientes a un sistema equivalente:
1. Intercambiar dos renglones. (Ya que corresponde areordenar  las ecuaciones del sistema).
2. Multiplicar todos los elementos de un renglón por una misma constante.
3. Sumar a los elementos de un renglón los correspondientes elementos de otro multiplicados por una constante.

MÉTODO DE ELIMINACIÓN GAUSSIANA
El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de forma que éste sea escalonado. La 1ª ecuación siemprese deja igual, (procurando que esta sea la más sencilla) y a la 2ª y 3ª ecuación se debe anular el término que lleva la x. O podemos intercambiarlas entre sí.
Este algoritmo consiste en dos procesos:
1) Eliminación hacia adelante: Esta fase reduce el conjunto de ecuaciones a un sistema triangular Superior:
Paso 1: Consiste en dividir la primera ecuación por el coeficiente de la primeraincógnita aii (coeficiente pivote). A este procedimiento se le conoce como normalización.
Paso  2: Después se multiplica la ecuación normalizada por el primer coeficiente de la segunda ecuación.
Paso  3: Nótese que el primer termina de la primera ecuación es idéntico al primer término de la segunda. Por lo tanto, se puede eliminar, la primera incógnita de la segunda ecuación restando la primera a lasegunda.
Paso  4: Repetir el paso 2 y 3 hasta eliminar la primera incógnita de todas las ecuaciones restantes.
Estos 4 pasos se repiten tomando como pivotes las ecuaciones restantes hasta convertir el sistema en una matriz triangular superior.
2) Sustitución hacia atrás:
Ya obtenido el sistema equivalente que es un sistema triangular superior este es más manejable y se puede resolver...