Sistema De Ecuaciones

SISTEMAS DE ECUACIONES

Una ecuación lineal con dos incógnitas x y y es una expresión de la forma ax + by = c , donde
a,b, cR y a y b son diferentes de cero.

Toda ecuación lineal con dos incógnitas tiene un número ilimitado de soluciones de la forma (x, y) y su gráfica determina una recta.

Ejemplos
.
1) La ecuación lineal 2x + 4 y = 20 tiene entre sus ilimitadas soluciones a losvalores: (- 2, 6), (0,5), (8,1) y (12,-1)

2) La ecuación lineal 3x - y = -15 tiene entre sus ilimitadas soluciones a los valores: (5, 0), (- 2,9), (1,18) y (-3,6)

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que poseen incógnitas. Para indicar que varias ecuaciones forman un sistema, se abarca el conjunto de todas ellas con una llave.
Un sistema de dos ecuaciones lineales con incógnitasx y y , también llamado ecuaciones simultáneas de dos por dos es de la forma:

a11x + a12y = b1
a21x + a22y = b2

Donde a11, a12, a21, a22 son coeficientes reales y b1, b 2 son términos independientes. En cada una de las ecuaciones, por lo menos uno de los coeficientes de las incógnitas es diferente de cero.
Los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que surgen delplanteamiento de un
problema, generalmente no tienen la forma estándar, sin embargo, debe obtenerse.

Resolver un sistema de este tipo es encontrar los pares de números x y y que satisfacen ambas ecuaciones, si existen. Gráficamente, una solución del sistema es un punto común a ambas rectas
P(x, y).

En un sistema de dos ecuaciones lineales:

· Si las dos rectas que se cruzan en un punto, ésterepresenta la solución del sistema. En este caso el sistema es compatible determinado.

· Si las dos rectas coinciden en todos sus puntos, tiene infinitas soluciones. En este caso el sistema es compatible indeterminado.
· Si las dos rectas son paralelas, no tienen ningún punto común. En este caso el sistema es
incompatible y no tiene solución.

MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE DOS ECUACIONES YDOS INCÓGNITAS

Existen cinco métodos para resolver sistemas de ecuaciones:

· Igualación

· Suma y resta (eliminación)

· Sustitución

· Determinantes

· Gráfico

MÉTODO DE IGUALACIÓN

El método de igualación consiste en realizar los siguientes pasos:

· Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones.
· Se igualan las expresiones despejadas y se obtiene una ecuaciónlineal para la otra incógnita.
· Se resuelve la ecuación lineal.
· Se sustituye este valor en cualquiera de las dos expresiones despejadas a fin de obtener el valor de la otra.
· Se realiza la comprobación.

Ejemplos.

Aplicando el método de igualación, resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

4x - 2y =10
1)
3x + 5y = 14

Solución.

De la primera ecuación se despejax: x= 10 + 2y = 5 + y
4 2

De la segunda ecuación también se despeja x: x= 14 – 5y3
Se igualan estas dos últimas ecuaciones: 5 + y = 14 – 5y
2 3

Resolviendo para y :
35 y214 5y
15 3y 28 10y
3y 10y 28 15
13y = 13 y= 13 = 1
13
Sustituyendo en la primeraecuación despejada, se obtiene el valor de la otra incógnita:
X= 5 + 1 = 6
2 2
4(3) – 2(1) = 12 – 2 = 10
Por lo tanto: x 3 y y 1. Comprobación: 3(3) +5(1) = 9 + 5 = 14



















MÉTODO DE SUMA Y RESTA (ELIMINACIÓN)

El método de suma y resta, también llamado de eliminación...