Sistemas control en mathlab

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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA ENERGÍA Y MECÁNICA
CARRERA DE INGENIERÍA MECATRÓNICA
Sistemas de Control II

Ejercicios

NIVEL: 8vo “A”

Diego Torres
Stalin Rivadeneira
Josué Ponce
Fernando Tapia

Sangolquí, 09 / 11 / 2010

1
Considere un sistema de masa, resorte y amortiguador (fig1) con masa M=2, constante de elasticidad K=3 y coeficiente de amortiguamiento b=0.8. Encuentrela función de transferencia de segundo orden G(s)=X(s)/F(s) donde, X(s) es la posición de la masa y F(s) es la fuerza aplicada a la masa.
A) ¿Cuál es la respuesta natural del sistema (Haga una simulación en MATLAB)?
B) ¿Cuáles son la frecuencia natural Wn y la relación de amortiguamiento normalizada del sistema ɛ?
C) Encuentre adicionalmente el modelo en espacio de estado para elsistema.

Fig1. Sistema Masa-Amortiguador-Resorte

F-Fb-Fk=mX
F-b.X-k.X=mX
F=mX+bX+kX
Fs=m S2 Xs+bS Xs+kXs

X(s)F(s)=1mS2+bS+k

X(s)F(s)=12S2+0.8 S+3

A) RESPUESTA NATURAL DEL SISTEMA ANTE UNA ENTRADA ESCALÓN

B) FRECUENCIA NATURAL ωn Y FACTOR DE AMORTIGUAMIENTO ɛ

Sea la ecuación general de un sistema de segundo grado:
Gs=k1ωn2S2+2εωnS+1

Y la ecuación de nuestro sistema:Gs=1/323S2+0.83 S+1

Igualando los coeficientes, tenemos que:

1ωn2=23 y 2εωn=0.83
Por lo tanto:

ωn=1.22 y ε=0.2

C) MODELO EN ESPACIOS DE ESTADO (MEDIANTE MATLAB)

Se ingresa el numerador y el denominador de la función de transferencia y por medio del comando [A,B,C,D]=TF2SS(num,den) se obtiene las matrices de los espacios de estado, a continuación semuestra en la siguiente figura la transformación.


Teniendo como resultado:
X1X2= -0.4-1.510X1X2+10 U

Y=00.5X1X2+0 U

2
Considere el sistema de la figura 2. Suponga, sin embargo, que H(s) provee retroalimentación positiva en lugar de retroalimentación negativa.
A) Denote la función de transferencia del nuevo sistema descrito por Gc2.
B) Cuáles son las raíces del denominadorpolinomial de Gc2
C) Qué comparación hay entre las raíces del denominador polinomial con retroalimentación negativa (Gc2) y con retroalimentación positiva (G´c2).

Fig2. Sistema lazo cerrado


A) FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA GC2

Por lo tanto las funciones de transferencia son:

GC2s=S2+11S+10S3+19S2+102S+156

G´C2s=S2+11S+10S3+17S2+88S+144

B) POLOS
Ingresando lospolinomios característicos en MATLAB y con el comando roots podemos sacar los polos de las 2 funciones de transferencia, y adicionalmente con el comando pzmap se puede graficar dichos polos y ceros.

Para GC2 las raíces del denominador y la ubicación de los polos y ceros.


Para G´C2 las raíces del denominador y la ubicación de los polos y ceros.

C) COMPARACIÓN ENTRE GC2 Y GC´2
Es claroobservar que los polos del sistema GC2 (retroalimentación negativa) están todas ubicadas sobre el eje real sin componentes del eje imaginario, y el sistema C´G2 (retroalimentación positiva) posee un par de polos complejos conjugados y un real.
Esto causa gran diferencia a la salida puesto que ante una entrada escalón unitario el sistema GC2 es más rápido en estabilizarse y tiene un sobrepaso mayorque G´C2 como se muestra en las siguientes figuras.

Fig. Comparación SISTEMA con retroalimentación positiva y con retroalimentación negativa

3
Considere una planta controlada por una retroalimentación negativa donde Gplantas es la función de transferencia en lazo abierto de la planta y Gcontrols es la función de transferencia del controlador que está localizada en el lazo deretroalimentación. Si Gplantas=Hs.GC1(s), donde Hs se muestra en el bloque1 y GC1(s)en el bloque2 considere adicionalmente que Gcontrols=GC3(s), donde GC3(s) está en el bloque3.

Bloque1. Bloque2.

Bloque3

A) Encuentre la función de transferencia del sistema de lazo cerrado. Use para ello los comandos feedback, series, y parallel.
B) Encuentre la función de transferencia del sistema...
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