Sistemas coordenadas
Páginas: 17 (4243 palabras)
Publicado: 24 de febrero de 2012
UNIDAD 1: SISTEMAS COORDENADAS
I.I.-COORDENADAS CARTESIANAS
El plano cartesiano es un sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas (o rectangulares) x e y sedenominan abscisa y ordenada, respectivamente.
Se denominan coordenadas cartesianas en honor a René Descartes (1596-1650), el célebre filósofo y matemático francés que quiso fundamentar su pensamiento filosófico en la necesidad de tomar un «punto de partida» sobre el que edificar todo el conocimiento.
Como creador de la geometría analítica, Descartes también comenzó tomando un «punto departida», el sistema de referencia cartesiano, para poder representar la geometría plana, que usa sólo dos rectas perpendiculares entre sí que se cortan en un punto denominado «origen de coordenadas», ideando las denominadas coordenadas cartesianas.
Los planos de referencia XY (z = 0); XZ (y = 0); e YZ (x = 0) dividen el espacio en ocho cuadrantes en los que, como en el caso anterior, los signosde las coordenadas pueden ser positivos o negativos.La generalización de las relaciones anteriores al caso espacial es inmediata considerando que ahora es necesaria una tercera coordenada (z) para definir la posición del punto.
1.2.- COORDENADAS CILINDRICAS:
Las coordenadas cilíndricas son un sistema decoordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje.
El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o acimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analíticaplana.
Un punto P en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ,φ,z), donde:
• ρ: Coordenada radial, definida como la distancia del punto P al eje z, o bien la longitud de la proyección del radiovector sobre el plano XY
• φ: Coordenada acimutal, definida como el ángulo que forma con el eje X la proyección del radiovector sobre el plano XY.
• z: Coordenada vertical o altura, definida como ladistancia, con signo, desde el punto P al plano XY.
Los rangos de variación de las tres coordenadas son
La coordenada acimutal φ se hace variar en ocasiones desde -π a +π. La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de ρ llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, ρ vuelve a aumentar, pero φ aumenta o disminuye en π radianes.
Las líneas coordenadas son aquéllasque se obtienen variando una de las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas cilíndricas, éstas son:
• Líneas coordenadas ρ: Semirrectas horizontales partiendo del eje Z.
• Líneas coordenadas φ: Circunferencias horizontales.
• Líneas coordenadas z: Rectas verticales.
A partir del sistema de coordenadas cilíndricas se puede definir una base vectorial en cada puntodel espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones
Disponiendo de la base de coordenadas cilíndricas se obtiene que la expresión del vector de posición en estas coordenadas es
1.3.-COORDENADAS ESFERICAS
El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos.
En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio r, el ángulo polar o colatitud θ y el azimut φ.
Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de...
I.I.-COORDENADAS CARTESIANAS
El plano cartesiano es un sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas (o rectangulares) x e y sedenominan abscisa y ordenada, respectivamente.
Se denominan coordenadas cartesianas en honor a René Descartes (1596-1650), el célebre filósofo y matemático francés que quiso fundamentar su pensamiento filosófico en la necesidad de tomar un «punto de partida» sobre el que edificar todo el conocimiento.
Como creador de la geometría analítica, Descartes también comenzó tomando un «punto departida», el sistema de referencia cartesiano, para poder representar la geometría plana, que usa sólo dos rectas perpendiculares entre sí que se cortan en un punto denominado «origen de coordenadas», ideando las denominadas coordenadas cartesianas.
Los planos de referencia XY (z = 0); XZ (y = 0); e YZ (x = 0) dividen el espacio en ocho cuadrantes en los que, como en el caso anterior, los signosde las coordenadas pueden ser positivos o negativos.La generalización de las relaciones anteriores al caso espacial es inmediata considerando que ahora es necesaria una tercera coordenada (z) para definir la posición del punto.
1.2.- COORDENADAS CILINDRICAS:
Las coordenadas cilíndricas son un sistema decoordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje.
El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o acimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analíticaplana.
Un punto P en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ,φ,z), donde:
• ρ: Coordenada radial, definida como la distancia del punto P al eje z, o bien la longitud de la proyección del radiovector sobre el plano XY
• φ: Coordenada acimutal, definida como el ángulo que forma con el eje X la proyección del radiovector sobre el plano XY.
• z: Coordenada vertical o altura, definida como ladistancia, con signo, desde el punto P al plano XY.
Los rangos de variación de las tres coordenadas son
La coordenada acimutal φ se hace variar en ocasiones desde -π a +π. La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de ρ llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, ρ vuelve a aumentar, pero φ aumenta o disminuye en π radianes.
Las líneas coordenadas son aquéllasque se obtienen variando una de las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas cilíndricas, éstas son:
• Líneas coordenadas ρ: Semirrectas horizontales partiendo del eje Z.
• Líneas coordenadas φ: Circunferencias horizontales.
• Líneas coordenadas z: Rectas verticales.
A partir del sistema de coordenadas cilíndricas se puede definir una base vectorial en cada puntodel espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones
Disponiendo de la base de coordenadas cilíndricas se obtiene que la expresión del vector de posición en estas coordenadas es
1.3.-COORDENADAS ESFERICAS
El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos.
En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio r, el ángulo polar o colatitud θ y el azimut φ.
Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de...
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