Sistemas de Coordenadas

UNIDAD I: SISTEMAS DE COORDENADAS.
1.1

Sistema de Coordenadas Lineales.

El sistema de coordenadas lineales es la propia recta real, ver Figura1

Figura 1
Las coordenadas del punto ܲ es el número real ‫ ݎ‬asociado a ese punto y se escribe ܲሺ‫ݎ‬ሻ
por ejemplo: ܲሺെ3ሻ ‫ܲ ݕ‬ሺ4ሻ.
Si ܲଵ ሺ‫ݔ‬ଵ ሻ ‫ܲ ݕ‬ଶ ሺ‫ݔ‬ଶ ሻ son dos puntos arbitrarios, entonces ܲଵ ܲଶ ൌ ‫ݔ‬ଶ െ‫ݔ‬ଵ expresa la
distanciadirigida de ܲଵ hasta ܲଶ, luego หܲଵ ܲଶ ห ൌ |‫ݔ‬ଶ െ‫ݔ‬ଵ | ൌ |‫ݔ‬ଵ െ‫ݔ‬ଶ | expresa la longitud entre
los puntos ܲଵ y ܲଶ .
Ejemplo 1: Dado el segmento ‫ ܤܣ‬cuyos extremos son los puntos ‫ܣ‬ሺ5ሻ ‫ܤ ݕ‬ሺെ3ሻ, su distancia
viene dada por ‫ ܤܣ‬ൌ െ3 െ 5 ൌ െ8 y su longitud viene dada por ‫ ܤܣ‬ൌ |െ3 െ 5| ൌ 8.

1.2

Sistema de Coordenadas Cartesianas en el Plano.

Dos sistemas de coordenadaslineales con el origen común formando un ángulo ϴ, como
indica la Figura 2, localizan biuninivocamente todos los puntos del plano.
Las coordenadas de un punto P se obtienen
trazando por dicho punto lineas paraleleas a
los ejes, los puntos de corte, por ejemplo, P’y
P”, se llaman proyeccciones oblicuas o
coordenadas oblicuas del punto P.
Se
puede
establecer
cartesuna
correspondencia biunivocaentre el conjunto
π formado por todos los puntos del plano y el
producto cartesiano de los elementos del eje
X por los elementos del eje Y, esto es:
ܺ ‫ ܻ ݔ‬ൌ ሼሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ⁄ ‫ܴߝݕ ∧ ܴߝݔ‬ሽ ൌ ܴ ‫ ܴ ݔ‬ൌ ܴ ଶ
Entonces a cada punto del plano X-Y se le hace
corresponder un par ordenado de ܴ ଶ y
viceversa.

Cuando Ѳ = 90˚ =

గ
ଶ

el Sistema de Coordenadas Cartesiano es Rectangular, eneste caso los

puntos de corte son proyecciones ortogonales, como se puede ver en la Figura 3, los puntos A, B,
C, D. ¿Cuáles son las coordenadas de P?

Figura 3
Este Sistema de Coordenadas Cartesiano Rectangulares divide al plano en cuatro cuadrantes:
1er cuadrante ൜

1.3

‫ݔ‬൐0
‫ݔ‬൏0
‫ݔ‬൏0
‫ݔ‬൐0
, 2do cuadrante ൜
, 3er cuadrante ൜
y 4to cuadrante ൜
.
‫ݕ‬൐0
‫ݕ‬൐0
‫ݕ‬൏0
‫ݕ‬൏0Sistema de Coordenadas Cartesianas Rectangulares en el Espacio.

Este sistema está generado por tres Sistema de Coordenadas Lineales con origen común y
mutuamente perpendiculares.

Figura 4
Las coordenadas de un punto ܲ൫ܲ௫ , ܲ௬ , ܲ௭ ൯ del espacio ܴ ଷ se determinan trazando planos
perpendiculares a los planos coordenados, como se ve en la Figura 5.

Figura 5
Se establece así, unacorrespondencia biunivoca entre los puntos P del espacio ܴ ଷ y el
producto cartesiano de las rectas reales X, Y, Z
ܺ ‫ ܼ ݔ ܻ ݔ‬ൌ ሼሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬, ‫ݖ‬ሻ ⁄ ‫ ܴߝݖ ∧ ܴߝݕ ∧ ܴߝݔ‬ሽ ൌ ܴ ‫ ܴ ݔܴ ݔ‬ൌ ܴ ଷ.

1.4

Sistema de Coordenadas Polares.

Es un sistema de coordenadas en el plano constituido por líneas curvas. Consta de un semieje, llamado Eje Polar. Que es igual al semi-eje positivo de un CoordenadasLineales, y a cuyo
origen se le da el nombre de polo. Un punto ܲ queda determinado por su distancia al polo, que es

la longitud del segmento หܱܲห ൌ ߩ, y el ángulo Ѳ que este segmento forma con el semi-eje polar.

Figura 6
Si llamamos ߛ al conjunto de todos los ángulos Ѳ tales que 0 ൑ ߠ ൏ 2ߨ, y como
ߩߝܴ ା ⊔ ሼ0ሽ = |ܴ ∗ |, resulta pués que el conjunto formado por todas l;as coordenadas polares,es el
producto cartesiano |ܴ ∗ | x ߛ ൌ ሼሺߩ, ߠሻ ⁄ ߩߝ|ܴ ∗ | ‫ߛߝߠ ݕ‬ሽ.
1.4.1 Restricciones.
i. De la definición se infiere que:
ߩߝ|ܴ ∗ | → ߩ ൒ 0 ‫ → ߛߝߠ ݕ‬0 ൑ ߠ ൏ 2ߨ.
Las coordenadas del punto que obedecen a estas restricciones se denominan “Par
Principal”.

ii. La segunda restricción se comprende si sabemos que:
ߠ ൌ ߠ ൅ 2݇ߨ siendo k un número entero, esto quiere decir que ߠ sereduce al
intervalo,{ 0, 2ߨሻ sumándole o restándole 2π.
Ejemplo 2: a) Veamos que hacer si Ѳ = 400°.
Como 400° > 360°=2π, se le resta 2π a ese ángulo, esto es: Ѳ = 400° - 360°= 40°.
b) Si ߠ ൌ െ

గ
ଶ

గ
ଶ

debe tomarse Ѳ ൌ െ ൅ 2ߨ ൌ

ଷగ
ଶ

ൌ 270°.

Para determinar las coordenadas de un punto ܲሺߩ, ߠሻ, se traza primero el punto ܲଵ ሺߩ, 0ሻ
(se traza una circunferencia de radio ρ)...