Sistemas De Ecuaciones FICO

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⎛1 1 −1 1⎞
⎛1⎞
⎛1 1 −1⎞
⎜
⎟
⎜
⎟ r ⎜ ⎟
A = ⎜ 2 − 1 − 1 ⎟, b = ⎜ 4 ⎟ ⇒ A* = ⎜ 2 − 1 − 1 4 ⎟
⎜ 3 0 − 2 5⎟
⎜5⎟
⎜ 3 0 − 2⎟
⎝
⎠
⎝ ⎠
⎝
⎠
1 1
´
= −3 ≠ 0; A = 2 − 3 − 3 + 4 = 0,
2 −1
1 1 1
2 − 1 4 = −5 +12 + 3 − 10 = 0.
3 0 5
Por lo tanto, rg(A) = rg(A*) = 2 < 3, luego el sistema es compatible indeterminado (tiene
infinitas soluciones).
Finalmente, veamos cómo obtener la(s) solución(es) de unsistema lineal de
ecuaciones, en el caso de que la(s) tenga, es decir, si el sistema es compatible.
En el caso en que el sistema tiene el mismo número de ecuaciones que de
incógnitas, es decir, tiene laforma:

a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1
a 21 x1 + a 22 x 2 + L + a 2 n x n = b2
L
a n1 x1 + a n 2 x 2 + L + a nn x n = bn
Por lo tanto, la matriz del sistema, A, es cuadrada. Si rg(A) = n, entoncesel sistema
es compatible determinado, y su solución viene dada por el teorema de Cramer:

x1 =

b1
b2
M

a12
a 22
M

bn

an2

L a1n
L a2n
M
L a nn
A

, x2 =

L a1n
L a2n
M

a11

b1

a12
M

b2
M

a1nbn L a nn
A

, K xn =

a11
a12

a12
a 22

M

M

a1n

an2

L

b1
L a2n
M
L b2
A

En el sistema a) del ejemplo anterior, la solución es:

x=

3 −1

1

6

1

1

0

2

−1

A

2
1
=

−3
= 1,
−3

y=

3
6

11

−1 0 −1
A

=

−6
= 2, z =
−3

2 −1 3
1 1 6
−1 2 0
A

=

−9
= 3.
−3

Si el sistema es compatible determinado, pero el número de ecuaciones es superior
al de incógnitas, entonces hay ecuacionesredundantes que se pueden eliminar.
Concretamente, se elige un menor de orden n distinto de 0, y se eliminan las ecuaciones que
queden fuera de ese menor. El sistema resultante es uno del tipo previamenteanalizado,
que puede resolverse, por tanto, utilizando la regla de Cramer.
Finalmente, si el sistema es compatible indeterminado, entonces obramos de forma
parecida al caso anterior. Si rg(A) = rg(A*)= p < n, entonces tomamos un menor de orden

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p no nulo. Eliminamos del sistema las ecuaciones que queden fuera del menor, y las
incógnitas que queden fuera pasan al término independiente como...