SISTEMAS HOMOGENEAS

IV.3. PROPIEDADES DE LAS SOLUCIONES.



SOLUCIONES DE LOS SISTEMAS HOMOGÉNEOS
SOLUCIONES DE LOS SISTEMAS NO HOMOGÉNEOS

En este apartado vamos a estudiar el comportamiento de las soluciones paralos SISTEMAS HOMOGÉNEOS y los SISTEMA NO HOMOGÉNEOS y
descubriremos que las soluciones de los sistemas homogéneos tienen
estructura de subespacio vectorial mientras que las soluciones de los sistemas
nohomogéneos tiene estructura de subespacio afín.
A. SOLUCIONES DE LOS SISTEMAS HOMOGÉNEOS
Consideremos el sistema homogéneo

para discutir este sistema, plantearemos la matriz de coeficientes

Paracalcular el rango recordemos que tenemos que cargar el fichero de
utilidades VECTOR.MTH que contiene la definición de la función RANK.
Una vez cargado ya podemos aplicar la función y obtendremos que
Portanto se trata de un sistema homogéneo indeterminando, con infinitas
soluciones.
Estudiemos esas soluciones resolviendo el sistema por el método habitual, es
decir planteando un vector de ecuaciones.Esto se puede agilizar sin más que
plantear la forma matricial del sistema

Que al simplificar nos da el vector de ecuaciones que desabamos:
Y ahora resolviendo obtenemos:
Es decir que el conjunto desoluciones son de la forma

estaríamos ante las ecuaciones paramétricas del sistema.
Por tanto resulta que el conjunto de soluciones está generado por el vector
(1,1,2)
Es decir S se trata de unsubespacio vectorial de R3 de dimensión 1, es decir
Dim(S) = nºincógnitas – rg(A)
Este hecho que hemos podido intuir en este ejemplo se puede generalizar con
la siguiente proposición:
PROPOSICION.
Sea elsistema lineal homogéneo de m-ecuaciones y n-incógnitas dado por

entonces se verifica que:
a. El conjunto de soluciones del sistema

es un subespacio vectorial de Rn.
b. Dim(S)=n-rg(A)
Veamos unademostración formal de esta proposición.
DEMOSTRACIÓN.
a. Comprobemos que

es un subespacio vectorial de

Rn. Para ello consideremos dos vectores cualesquiera de S
Por ser vectores de S verificarán...