Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

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SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
Este tema está dedicado a la discusión de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas. Dichos sistemas aparecen en problemas que tienen relación con varias variables dependientes que son función de la misma variable independiente.
Por ejemplo, las leyes de Newton.
[pic]
[pic]
[pic]
donde m es la masa de la partícula, (x1, x2, x3)son sus coordenadas espaciales y F1, F2, F3 las componentes de la fuerza actuante sobre la partícula en dicha posición, que pueden ser función de la posición, de la velocidad y del tiempo.
Hay una importante conexión entre los sistemas de ecuaciones y las ecuaciones de orden arbitrario. De hecho una ecuación de orden n
[pic]
puede ser reducida a un sistema de n ecuaciones diferenciales deprimer orden con una forma bastante particular. Para verlo se va a efectuar los siguientes cambios de variables, llamando
[pic]
[pic]
...
[pic]
[pic]
[pic]
Entonces se puede reescribir (1) como
[pic]
[pic]
...
[pic]
[pic]
que es un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden.
En el caso más general un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden tiene tiene la forma:[pic]
[pic]
...
[pic]
Antes de proseguir será necesario establecer en qué caso hay solución del sistema y si ésta es única. Para ello, se enuncia el siguiente teorema:
Teorema
Sean continuas en una región R del espacio (n+1) dimensional [pic]las funciones
[pic]
y tal que dicha región contiene el punto [pic]. Entonces existe un intervalo [pic]en el que hay solución única de la forma:
[pic]...
[pic]
del sistema de ecuaciones diferenciales que satisface la condición
[pic]
...
[pic]
Nota.- Es importante saber que este teorema da las condiciones suficientes para que haya solución, sin embargo, no establece las necesarias. Es decir, las condiciones son muy restrictivas y puede encontrarse un sistema que sin cumplirlas totalmente tenga solución única.
Los sistemas se clasificancomo las ecuaciones ordinarias. Pueden ser lineales y no lineales. Si las funciones [pic]tienen la forma
[pic]
el sistema se dice lineal. Si no, es no lineal. Si [pic]es cero en todas y cada una de las ecuaciones, el sistema se dice homogéneo; en caso contrario, no homogéneo.
Para los sistemas lineales el teorema de existencia y unicidad de solución es más simple y con una conclusión másamplia. Es un teorema de existencia de solución global, como en el caso de las ecuaciones diferenciales ordinarias.
Si las funciones [pic]y [pic]son continuas en el intervalo abierto
α < t < β
que contiene al punto [pic], entonces existe una única solución al sistema de la forma:
[pic]
...
[pic]
que satisface las condiciones de valor inicial
[pic]
...
[pic]
Obsérvese que la existencia yunicidad de la solución del sistema está asegurada en todo el intervalo en que las funciones pij(t) y qi(t) son continuas a diferencia de los sistemas no-lineales en los que la existencia y unicidad quedaba consignada en un subintervalo incluido en el de continuidad de las funciones.

SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGENEOS Y NO HOMOGÉNEOS
HOMOGENEA
Si un sistema de m ecuaciones yn incógnitas tiene todos los términos independientes nulos se dice que es homogéneo .

Sólo admite la solución trivial: x1 = x2 =... = xn = 0.

La condición necesaria y suficiente para que un sistema homogéneo tenga soluciones distintas de la trivial es que el rango de la matriz de los coeficientes sea menor que el nº de incógnitas, o dicho de otra forma, que el determinante de la matriz delos coeficientes sea nulo.

r < n

Resolución de sistemas homogóneos

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

r = 3 n = 3

[pic]

NO HOMOGENEA
Sea el sistema
[pic]
Supóngase resuelto el sistema homogéneo
[pic]
y llámese Ψ (t) a la matriz fundamental de las soluciones. Se van a distinguir distintos casos:
A) Si P(t) = A, matriz constante...
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