Sistemas De Ecuaciones Lineales

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INGENIERÍA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES



Materia:
ALGEBRA LINEAL



Semestre-Grupo:
2°SEMESTRE GRUPO UNICO



Producto Académico:
INVESTIGACIÓN


Tema:
UNIDAD 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.


Presenta:
YULIANA DEL CARMEN GÓMEZ MEJÍA
JULIO CESAR CHAGALA CHIGUIL
JOSE RODOLFO RICO CABRERA


Docente:
EL SEÑOR XH. Y G. ALVARADO, VER. 26 DE MAYO DEL 2012


3.1 DEFINICIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

Existen numerosos modelos económicos que suelen utilizar sistemas de ecuaciones lineales. Este hecho convierte a los sistemas de ecuaciones lineales en uno de los modelos matemáticos centrales de las economías.
Para el estudio de estossistemas tenemos que distinguir tres partes fundamentales:
FORMULACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO
DISCUSIÓN DEL SISTEMA
RESOLUCIÓN DEL SISTEMA.
Estas son las tres fases que suelen plantearse en un sistema de ecuaciones lineales. Pero antes de comentar estas fases vamos a dar algunas generalidades de lo que se entiende por un sistema lineal.
EJEMPLO.
Planteemos los siguientes sistemas de ecuaciones:¿Son sistemas de ecuaciones lineales en las variables x e y?
Como puede observarse el primero y segundo no son sistemas de ecuaciones lineales en las incógnitas x e y, por el contrario el tercer sistema es lineal en las incógnitas x e y actuando t como parámetro del sistema.
Esta visión de los sistemas de ecuaciones lineales, nos obliga a definir qué se entiende por un sistema deecuaciones lineales:

DEFINICIÓN (Sistema de ecuaciones lineales)
Diremos que un sistema de ecuaciones es LINEAL en las variables x1,x2,x3,.... si todas las ecuaciones que lo forman son lineales respecto a x1,x2,x3,... es decir son de la forma a1x1+a2x2+a3x3+...+anxn=b
donde a1,a2,...,an,b son números reales o bien son funciones dependientes de otras variables que no son x1,x2,...,xn.3.2 CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y TIPOS DE SOLUCIÓN.

Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden clasificar atendiendo a dos criterios fundamentales:
Según como sea el TÉRMINO INDEPENDIENTE:
Atendiendo a este criterio los sistemas se pueden clasificar en
SISTEMAS HOMOGÉNEOS (si el término independiente es el vector nulo)
;
SISTEMAS NO HOMOGÉNEOS (el términoindependiente es no nulo)
; siendo

según LA EXISTENCIA o no de SOLUCIONES
Atendiendo a este criterio los sistemas se pueden clasificar en:
SISTEMAS COMPATIBLES: si tienen una o infinitas soluciones.
SISTEMAS INCOMPTAIBLES: si no tienen soluciones.

SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.

EJEMPLO.
Consideremos el siguiente sistema:

Determinar si los vectores (29/9,-2/9,0) y (14/9,4/9,1) satisfacen las ecuaciones del sistema:


Definimos en DERIVE el sistema
Y ahora sustituimos en el sistema x,y,z por los valores correspondientes con la ayuda de MANAGE-SUBSTITUTE.


Resultando una identidad.

Otra opción para efectuar esta comprobación consistiría en construir la forma matricial del sistema, definiendo entonces la matriz de coeficientes:Definir los posibles vectores solución, como vectores columna:


Y comprobar si satisfacen las ecuaciones, obsérvese que



Luego el primer vector sí satisface el sistema. Por el contrario, el segundo no lo satisface pues


Según esto podemos definir el concepto de SOLUCIÓN como


DEFINICIÓN (Solución de un sistema)
Sea un sistema de ecuaciones lineales siendoA una matriz de orden mxn, el vector de incógnita de Rn, y el vector de términos independientes del sistema.
Diremos que el vector es solución del sistema si verifica que



Ejemplo.
Consideremos los siguientes sistemas lineales:
A3.x4 = b4
A4.x4=b4
A5.x4=b4
A6.x4=b4

Siendo las matrices de coeficientes:


El vector de incógnitas:


Y los vectores de...