Sistemas de ecuaciones
Páginas: 14 (3271 palabras)
Publicado: 7 de febrero de 2012
Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas se puede escribir del siguiente modo:
Donde son las incógnitas y los números son los coeficientes del sistema sobre el cuerpo
Si todos los términos independientes son nulos el sistema se llama homogéneo
Tipos:
Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones quepueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:
Sistema incompatible si no tiene ninguna solución.
Sistema compatible si tiene alguna solución, en este caso además puede distinguirse entre:
Sistema compatible determinado cuando tiene un número finito de soluciones.
Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.
Quedandoasí la clasificación:
Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un único punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta [o másgeneralmente un hiperplano de dimensión menor. Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el determinante de la matriz es diferente de cero:
Sistemas compatibles indeterminados
Un sistema sobre un cuerpo K es compatible indeterminado cuando posee un número infinito de soluciones. Por ejemplo, el siguiente sistema:
Tanto la primera como lasegunda ecuación se corresponden con la recta cuya pendiente es y que pasa por el punto , por lo que ambas intersecan en todos los puntos de dicha recta. El sistema es compatible por haber solución o intersección entre las rectas, pero es indeterminado al ocurrir esto en infinitos puntos.
En este tipo de sistemas, la solución genérica consiste en expresar una o más variables como función matemáticadel resto. En los sistemas lineales compatibles indeterminados, al menos una de sus ecuaciones se puede hallar como combinación lineal del resto, es decir, es linealmente dependiente.
Una condición necesaria para que un sistema sea compatible indeterminado es que el determinante de la matriz del sistema sea cero (y por tanto uno de sus autovalores será 0):
De hecho, de las dos condicionesanteriores se desprende, que el conjunto de soluciones de un sistema compatible indeterminado es un subespacio vectorial. Y la dimensión de ese espacio vectorial coincidirá con la multiplicidad geométrica del autovalor cero.
Sistemas incompatibles
De un sistema se dice que es incompatible cuando no presenta ninguna solución. Por ejemplo, supongamos el siguiente sistema:
Las ecuaciones secorresponden gráficamente con dos rectas, ambas con la misma pendiente, Al ser paralelas, no se cortan en ningún punto, es decir, no existe ningún valor que satisfaga a la vez ambas ecuaciones.
Matemáticamente un sistema de estos es incompatible cuando el rango de la matriz del sistema es inferior al rango de la matriz ampliada. Una condición necesaria para que esto suceda es que el determinante dela matriz del sistema sea cero:
Sistemas de Ecuaciones Equivalentes
Los sistemas de ecuaciones equivalentes son los que tienen la misma solución, aunque tengan distinto número de ecuaciones.
Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes. Si:
Todos los coeficientes son ceros.
• Dos filas son iguales.
• Una fila es proporcional a otra.
• Una fila es combinaciónlineal de otras.
Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones
1. Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.
2. Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.
3. Si sumamos o restamos a una...
Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas se puede escribir del siguiente modo:
Donde son las incógnitas y los números son los coeficientes del sistema sobre el cuerpo
Si todos los términos independientes son nulos el sistema se llama homogéneo
Tipos:
Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones quepueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:
Sistema incompatible si no tiene ninguna solución.
Sistema compatible si tiene alguna solución, en este caso además puede distinguirse entre:
Sistema compatible determinado cuando tiene un número finito de soluciones.
Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.
Quedandoasí la clasificación:
Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un único punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta [o másgeneralmente un hiperplano de dimensión menor. Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el determinante de la matriz es diferente de cero:
Sistemas compatibles indeterminados
Un sistema sobre un cuerpo K es compatible indeterminado cuando posee un número infinito de soluciones. Por ejemplo, el siguiente sistema:
Tanto la primera como lasegunda ecuación se corresponden con la recta cuya pendiente es y que pasa por el punto , por lo que ambas intersecan en todos los puntos de dicha recta. El sistema es compatible por haber solución o intersección entre las rectas, pero es indeterminado al ocurrir esto en infinitos puntos.
En este tipo de sistemas, la solución genérica consiste en expresar una o más variables como función matemáticadel resto. En los sistemas lineales compatibles indeterminados, al menos una de sus ecuaciones se puede hallar como combinación lineal del resto, es decir, es linealmente dependiente.
Una condición necesaria para que un sistema sea compatible indeterminado es que el determinante de la matriz del sistema sea cero (y por tanto uno de sus autovalores será 0):
De hecho, de las dos condicionesanteriores se desprende, que el conjunto de soluciones de un sistema compatible indeterminado es un subespacio vectorial. Y la dimensión de ese espacio vectorial coincidirá con la multiplicidad geométrica del autovalor cero.
Sistemas incompatibles
De un sistema se dice que es incompatible cuando no presenta ninguna solución. Por ejemplo, supongamos el siguiente sistema:
Las ecuaciones secorresponden gráficamente con dos rectas, ambas con la misma pendiente, Al ser paralelas, no se cortan en ningún punto, es decir, no existe ningún valor que satisfaga a la vez ambas ecuaciones.
Matemáticamente un sistema de estos es incompatible cuando el rango de la matriz del sistema es inferior al rango de la matriz ampliada. Una condición necesaria para que esto suceda es que el determinante dela matriz del sistema sea cero:
Sistemas de Ecuaciones Equivalentes
Los sistemas de ecuaciones equivalentes son los que tienen la misma solución, aunque tengan distinto número de ecuaciones.
Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes. Si:
Todos los coeficientes son ceros.
• Dos filas son iguales.
• Una fila es proporcional a otra.
• Una fila es combinaciónlineal de otras.
Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones
1. Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.
2. Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.
3. Si sumamos o restamos a una...
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