Sistemas de ecuaciones

PRÁCTICA SOLUCIÓN NUMÉRICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (PARTE II)

Objetivos El alumno conocerá y aplicará diferentes métodos de solución numérica para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Al final de esta práctica el alumno podrá: 1. Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante diversas técnicas de solución numérica (Método de LU, Método de Gauss-Seidel) 2. Implementardichas técnicas en el lenguaje de programación C Antecedentes 1. 2. 3. 4. Manejar ciclos de repetición en lenguaje C Manejar arreglos y estructuras en lenguaje C Realizar operaciones con matrices Calcular la matriz inversa Introducción En la solución numérica de sistemas de ecuaciones lineales, existen varios métodos numéricos como el Método de LU y el Método de Gauss-Seidel. En esta prácticaemplearemos dichos métodos, por lo que se da una pequeña explicación de cada uno de ellos; aunado a esto se recomienda revisar estos métodos en la bibliografía citada al final de la práctica. Método de LU El método de descomposición LU para la solución de sistemas de ecuaciones lineales debe su nombre a que se basa en la descomposición de la matriz original de coeficientes (A) en el producto de dosmatrices (L y U). Esto es: A= LU Donde: L: Matriz triangular inferior U: Matriz triangular superior. Estas matrices son triangulares, y para facilidad de cálculo, cualquiera de ellas puede contener sólo unos en la diagonal principal. En esta práctica seleccionamos a la matriz U con dicha característica. Por ejemplo, para matrices de 3x3 se escribe:

a a a a a a
11 21 31

12 22

32

a a a13 23

=

33

l 0 0 l l 0 l l l
11 21 22 31 32

1 0 0

u u 1 u
12

13 23

33

0

1
Programación Avanzada y Métodos Numéricos

Elaborada por: Ing. Laura Sandoval Montaño Viridiana del Carmen De Luna Bonilla Virgilio Green Pérez

PRÁCTICA SOLUCIÓN NUMÉRICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (PARTE II)

Si efectuamos la multiplicación de L y U, igualando los elementos deese producto con los de la matriz A correspondientes, se obtiene: a11 = l11 a12 = l11 u12 a13 = l11 u13

a a
l l l

21

= l 21 = l 31

a a
12

22

= l 21 u12 + l 22 = l 31 u12 l 32

31

32

a =l u +l u a = l u +l u
23 21 13 22 33 31 13 32

23

23

+ l 33

De aquí que los elementos de L y U son, en este caso:
11

= a11 = a21 = a31

21

31

u =a l l = a −l u l= a −l u
12 11 22 22 21 32 32 31

12

12

u =a l u = (a − l u ) l l = a −l u −l u
13 13 11 23 23 21 13 22 33 33 31 13 32

23

Si el sistema de ecuaciones original se escribe como A x = b, resulta lo mismo escribir L U x = b. Definiendo a U x = Y, podemos escribir L Y = b Resolviendo para Y, encontramos: y = b1 l11
1

y y

2 3

(b − l y ) l = (b − l y − l
=
2 21 1 3 31 1

2232

y)l
2

33

Una vez conocidas L, U y b, prosigue encontrar primeramente los valores de "Y" por sustitución progresiva sobre "L Y = b". Posteriormente se resuelve "U x = Y " por sustitución regresiva para encontrar los valores de "x", obteniendo:

x =y x = y −u x x = y −u x −u x
3 3 2 2 23 3 1 1 12 2 13

3

Por ejemplo, sea el siguiente sistema de ecuaciones, factorizando la matrizen LU:
1 2 3 x1 9 Las matrices de factores L y U de A son: 1 0 0 1 2 3 L = 4 −3 0 ; 3 −5 −9 U= 0 1 2 0 0 1

4 5 6 x 2 = 24 3 1 2 x3 4 Resolver la ecuación L Y = b por sustitución progresiva para obtener los elementos del vector auxiliar Y: [L][Y]=[b]

1 0 0 y1 9 4 − 3 0 y 2 = 24 3 − 5 3 y3 4

Donde: y1 = 9 y2 = 4

y 3 = −1

Elaborada por: Ing. Laura Sandoval Montaño Viridiana delCarmen De Luna Bonilla Virgilio Green Pérez

Programación Avanzada y Métodos Numéricos

PRÁCTICA SOLUCIÓN NUMÉRICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (PARTE II)

Resolver la ecuación U x = Y para encontrar los elementos de x, por sustitución regresiva: [U][x]=[Y]

1 2 3 x1 0 0 1 x3

9 −1

De donde se obtiene: x1 = 0

0 1 2 x2 = 4

x x

2 3

=6 = −1

A continuación se presenta...