Sistemas De Números Reales

SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES
1. INTRODUCCIÓN.
Intuitivamente “un conjunto es una cierta colección o agrupación de objetos llamados elementos del conjunto”. Los objetos serán susceptibles de tener relaciones o propiedades entre ellos. Los objetos serán representados por símbolos y las relaciones o propiedades, por combinaciones de los símbolos que representan a los objetos que intervienenen ellas y por otros símbolos los que caracterizan dichas relaciones o propiedades.
En general, se entiende por Sistema a un conjunto provisto de una o más operaciones entre sus elementos.
2.1. Números naturales

Un número natural se puede representar de varias maneras, por ejemplo: el número 15 se puede representar por 8 + 7, 9 + 6, 3. 5, etc. y para indicar este hecho se usará elsímbolo “=” denominado igualdad.
En general. Si a y b son números naturales que representan el mismo número, entonces se escribe y se lee “a igual a b”; en caso contrario, y se lee “a diferente de b”. Satisface las siguientes propiedades:
En el sistema de los números naturales, sólo se consideran las operaciones de adición y multiplicación como operaciones bien definidas. La diferencia a-b,existe, sólo para ciertos casos (parcialmente definida). Esta imposibilidad de generalizar para todo elemento de N la operación de sustracción, exige construir un nuevo sistema numérico, donde esté totalmente definida dicha operación.
Para este fin, bastará construir un conjunto que incluya a N, de tal manera que las operaciones que se definan en el nuevo conjunto, gocen de las mismas propiedadesque tienen las operaciones ya definidas en N; además esté provisto de la operación de sustracción, que goce de la propiedad de clausura; es decir, esté totalmente definida.
Este nuevo conjunto se denotará por Z y sus elementos son llamados números enteros; es decir:

Los números ..., -3, -2, -1, son los enteros negativos (Z-), y los números 0, 1, 2, 3, ... son los enteros positivos (Z+).
Enel sistema de los números enteros, si se eligen dos elementos arbitrarios a y b y si se desea determinar el cociente a/b o b/a, se ve que no siempre existe. Esto muestra que la operación de división en Z no es cerrada, lo que obliga a construir un conjunto más amplio, que contenga a los enteros de tal manera que las operaciones definidas en el nuevo sistema tengan las mismas propiedades que en Z.Al conjunto así ampliado se llamará el sistema de los números racionales, denotado por Q, cuyos elementos son cocientes de números enteros; es decir:

Todo número entero a se puede expresar como el cociente a/1, entonces y Q está formado así:

Como siempre es posible encontrar un número racional entre dos cualesquiera, se dice que el conjunto de los números racionales es denso; mientrasque N y Z, no gozan de esta propiedad. A esta propiedad, del sistema de los números racionales se le conoce con el nombre de densidad.
Considerando el número racional , luego de realizar la división indicada, resulta:

Similarmente, se tiene:
a) Expresión decimal exacta
b) Expresión decimal periódica pura con periodo 25
c) Expresión decimal periódica mixta, con periodo 3 y parteno periódica 8
El bloque de cifras decimales que se repiten sucesivamente, se llama periodo, lo que se indica con una raya encima del bloque.
En general: Todo número racional tiene una expresión decimal periódica.
Para ver si se cumple el recíproco de éste teorema, observar los siguientes ejemplos:
1) Dada la expresión decimal d = 5,12.
Multiplicando por 100 ambos miembros

2) SeaMultiplicando por 100, se tiene:

luego, restando de este resultado la expresión dada

De aquí se obtiene:
Luego,
3) Multiplicado por 1000 se tiene

restando de este resultado la expresión dada multiplicada por 100:

De aquí , luego,
El procedimiento seguido e los ejemplos 2) y 3), consiste en convertir en cero el período multiplicando por 10, 1000, 1 000, etc. la expresión...