Sistemas de m ltiple grado de libertad en vibraciones conferencia

SISTEMAS DE MÚLTIPLE GRADO DE LIBERTAD EN
VIBRACIONES.
Impartida por el Maestro en Ingeniería Yahvé Abdul Ledezma Rubio.
Temas:
-

Ley de Hooke.
Resortes en serie y en paralelo.
Ecuación diferencial de un modelo con resorte y amortiguador.
Modelo con 2 grados de libertad.
Sistema de múltiples grados de libertad.
1. LEY DE HOOKE.

Durante la conferencia-clase impartida se dio un breve vistazo a untema que sería
constantemente tocado que es la ley de Hooke, en ella se explicó como la fuerza
que aplica un resorte está en función del desplazamiento de su longitud natural.
Como es una fuerza que genera un desplazamiento esto puede ser considerado
como un trabajo en zona lineal.
Así existen fuerzas equivalentes que tratan de
regresar el resorte a su estado natural y otras
que lo mantienen entensión o esfuerzo.
El profesor nos mostró el comportamiento de
un resorte de K=50N/m cicloidal a través de
un experimento que realizo para comprobar
que su comportamiento fuera lineal y de esta
manera generar el modelo matemático de
este comportamiento:
𝐹𝑘 = −𝐾𝑥𝑖̂
Después paso a la consideración de 2
dimensiones y con ello a una nueva conclusión
de cómo se podría modelar el problema con
unatransformación a coordenadas polares.

Con este nuevo método podemos darnos cuenta de que ahora la fuerza queda en
función de un radio dando como resultado lo siguiente:
𝐹 = −𝑘𝑟𝑒̂𝑟
𝑑𝑟̂ = 𝑑𝑟𝑒̂𝑟 + 𝑟𝑑𝛩𝑒̂𝜃
Es decir, un producto punto de fuerza y desplazamiento.
Después calculamos el trabajo con el método de energías.
𝑈12

2

𝐾𝑟22 𝐾𝑟12
= ∫ −𝐾𝑟𝑑𝑟 = −
+
2
2
1

De forma que la energía potencial debida a laposición.
𝑉𝐾 =

𝐾𝑟22
2

Y debido a que se trata de un campo conservativo tenemos como resultado:
𝑉𝐾2 + 𝑉𝐾1 =

𝐾𝑟22 𝐾𝑟12
−
2
2

Estos es, la energía potencial al final menos la energía potencial al principio.
2. RESORTES EN SERIE Y EN PARALELO.
Resorte en paralelo:
𝐾1 𝑥 + 𝐾2 𝑥 = ∑ 𝐹
𝐾𝑒𝑞 = ∑ 𝐹𝑥
𝐾1 + 𝐾2 = 𝐾𝑒𝑞

Resortes en serie.
En este caso especial no podemos saber la deformación de ambos resortes,solo la
deformación total causada a ellos por tanto se modificara nuestro modelo. Esto

debido a que ejercen la misma fuerza y no importa la deformación ya que al
momento que se deforma uno y el otro se da la deformación total.

𝐹 = 𝐾1 𝛿1 = 𝐾2 𝛿2 = 𝐾𝑒𝑞 𝑥 … … … (1)
𝛿1 + 𝛿2 = 𝑥
De (1) se tiene:
𝐹
𝐾1

𝐾𝑒𝑞 =

𝐹

𝐹

+𝐾 =𝐾
2

𝑒𝑞

1
1
𝐾𝑖

∑

Amortiguador viscoso.
El objetivo de un amortiguador viscoso estratar de evitar el desplazamiento o
disminuir su velocidad, casi siempre es un cilindro con un aceite por dentro que
actuara como el encargado de disipar la energia.

En este tipo de amortiguadores hay una fuerza debido a la viscocidad.
Se tiene que: La fuerza que ejerce un amortiguador viscoso
es proporcional a la velocidad de deformación entre sus
extremos relativos y en dirección contraria adicha velocidad,
en forma de una ecuación se tiene_
𝐹̅ = −𝑐 𝑣̅ Como la derivada del desplazamiento es la
velocidad:
𝐹̅ = −𝑐𝑥̇ 𝑖̂

3. SISTEMA AMORTIGUADOR-RESORTE-MASA.
En este sistema tenemos conectado un resorte, un amortiguador y una masa de
manera que podemos ver como el amortiguador se resiste a la fuerza que se le
aplique ya sea por alguna parte externa o por el resorte, a su vez una masalibre de
fricción con el suelo.

Aquí hacemos la consideracio que C = bx

∑ 𝐹𝑦 = −𝑚𝑔 + 𝑁1 + 𝑁2 = 0
𝑚𝑔 = 𝑁1 + 𝑁2
∑ 𝐹𝑥 = −𝑘𝑥 − 𝑐𝑥̇ + 𝐹(𝑡) = 𝑚𝑥̈

Ecuación diferencial de un modelo con resote y amortiguador.
Llegamos a partir de las ecuaciones precedentes al siguiente modelo:
𝑚𝑥̈ + 𝑐𝑥̇ + 𝑘𝑥 = 𝐹̅ (𝑡)
Normalizando la ecuación se llega a:
𝑥̈ +

𝑐
𝑘
𝑥̇ + 𝑥 = 𝐹̅ (𝑡)
𝑚
𝑚

Clasificando la ecuación diferencialanterios se tiene que:
Orden: 2
Grado: 1
Lineal

De coeficientes constantes
Variable independiente: t
Variable
dependiente:
x(posición)

No Homogénea

𝑐

𝑘

(𝐷2 + 𝐷 𝑚 + 𝑚) 𝑥 = 0 

𝑐

𝑘

𝜆2 + 𝜆 𝑚 + 𝑚 = 0 

𝑐

1

𝑐2

𝑘

𝜆1,2 = 2𝑚 ± 2 √𝑚2 − 4 𝑚

De aquí llegamos a las posibles clasificaciones debido a la naturaleza de sus raíces
se tiene:
Sobre amortiguado (el amortiguador es muy duro).
En este...