Sistemas De Grados De Libertad
Páginas: 5 (1144 palabras)
Publicado: 28 de septiembre de 2011
26-08-2011
Sistemas de varios grados de libertad
Sistemas de varios grados de libertad
• Una estructura de varios niveles mostrada en la Figura se puede idealizar como un pórtico de varios niveles con diafragma de cuerpo rígido asumiendo que la masa está concentrada en cada nivel, las columnas se suponen axialmente inextensibles pero lateralmente flexibles. La respuesta dinámica delsistema está representada por el desplazamiento lateral de las masas con el número de grados de libertad dinámica o n modos de vibración que son iguales al número de masas. La vibración resultante del sistema esta dada por la superposición de las vibraciones de cada masa. Cada modo individual de vibración tiene su propio periodo y puede ser representado por un sistema simple del mismo periodo.
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Sistemas de varios grados de libertad
El modo de vibración con periodo mayor (frecuencia baja) es llamado modo fundamental de vibración; modos con periodos cortos son llamados modos armónicos (frecuencias altas).
Sistemas de varios grados de libertad
• Supongamos un edificio de tres pisos. Cada masa de piso representa un grado de libertad con una ecuación de equilibriodinámico para cada una:
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Sistemas de varios grados de libertad
• Las fuerzas de inercia están dadas por las ecuaciones:
Sistemas de varios grados de libertad
• Las fuerzas elásticas están dadas por las ecuaciones:
• Y las fuerzas de amortiguamiento pueden expresarse como
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Sistemas de varios grados de libertad
• Por lo tanto las ecuaciones:
• Sepueden escribir como:
RESPUESTA DINÁMICA: ANÁLISIS MODAL
• Para determinar la respuesta dinámica de una estructura de varios grados de libertad se puede utilizar el procedimiento de análisis modal. Se obtiene la respuesta máxima por separado para cada modo, modelando cada uno de ellos como un sistema de simple grado de libertad. Debido a que los valores máximos no pueden ocurrir simultáneamente,estos valores son combinados estadísticamente para obtener la respuesta total. • El método de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados, SRSS, es aplicable para estructuras bidimensionales cuando la relación entre los periodos de cualquier modo alto con cualquier modo bajo es 0.75 o menor, y la relación de amortiguamiento no excede el 5%. El análisis modal puede ser enfocado mediante métodosmatriciales, numéricos o métodos iterativos.
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MÉTODO MATRICIAL • Para encontrar las frecuencias y las formas modales de vibración libre se consideran las fuerzas externas y el amortiguamiento igual a cero
• De donde se obtiene:
MÉTODO MATRICIAL • De la ecuación anterior se obtienen los valores de ω2n y aplicando la ecuación: • Se obtienen los valores de φn. • De lapropiedad de ortogonalidad de los nodos se obtiene:
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Normalización de los modos
• Algunas veces se aplica factores de escala a los modos naturales para estandarizar sus elementos asociándolos con sus amplitudes en varios grados de libertad. Este proceso es llamado normalización; algunas veces es conveniente normalizar cada modo de tal forma que el elemento mayor sea la unidad. Otrasveces es más ventajoso el normalizar cada modo de tal forma que el elemento correspondiente a algún grado de libertad en particular sea la unidad. En teoría y programas computacionales es común normalizar los modos de tal manera que mn tenga valores unitarios:
Normalización de los modos
• Donde la matriz [I] es la matriz de identidad. Los componentes de la matriz modal normalizada están dadospor:
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Factor de participación
• Las ecuaciones de movimiento para cada grado de libertad no dependen de los modos de vibración y tienen forma similar a la ecuación de movimiento de un sistema de un solo grado de libertad. El factor de participación, para sistemas de varios grados de libertad esta definida en forma matricial por
Factor de participación
Para un sistema...
Sistemas de varios grados de libertad
Sistemas de varios grados de libertad
• Una estructura de varios niveles mostrada en la Figura se puede idealizar como un pórtico de varios niveles con diafragma de cuerpo rígido asumiendo que la masa está concentrada en cada nivel, las columnas se suponen axialmente inextensibles pero lateralmente flexibles. La respuesta dinámica delsistema está representada por el desplazamiento lateral de las masas con el número de grados de libertad dinámica o n modos de vibración que son iguales al número de masas. La vibración resultante del sistema esta dada por la superposición de las vibraciones de cada masa. Cada modo individual de vibración tiene su propio periodo y puede ser representado por un sistema simple del mismo periodo.
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Sistemas de varios grados de libertad
El modo de vibración con periodo mayor (frecuencia baja) es llamado modo fundamental de vibración; modos con periodos cortos son llamados modos armónicos (frecuencias altas).
Sistemas de varios grados de libertad
• Supongamos un edificio de tres pisos. Cada masa de piso representa un grado de libertad con una ecuación de equilibriodinámico para cada una:
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• Las fuerzas de inercia están dadas por las ecuaciones:
Sistemas de varios grados de libertad
• Las fuerzas elásticas están dadas por las ecuaciones:
• Y las fuerzas de amortiguamiento pueden expresarse como
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• Por lo tanto las ecuaciones:
• Sepueden escribir como:
RESPUESTA DINÁMICA: ANÁLISIS MODAL
• Para determinar la respuesta dinámica de una estructura de varios grados de libertad se puede utilizar el procedimiento de análisis modal. Se obtiene la respuesta máxima por separado para cada modo, modelando cada uno de ellos como un sistema de simple grado de libertad. Debido a que los valores máximos no pueden ocurrir simultáneamente,estos valores son combinados estadísticamente para obtener la respuesta total. • El método de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados, SRSS, es aplicable para estructuras bidimensionales cuando la relación entre los periodos de cualquier modo alto con cualquier modo bajo es 0.75 o menor, y la relación de amortiguamiento no excede el 5%. El análisis modal puede ser enfocado mediante métodosmatriciales, numéricos o métodos iterativos.
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MÉTODO MATRICIAL • Para encontrar las frecuencias y las formas modales de vibración libre se consideran las fuerzas externas y el amortiguamiento igual a cero
• De donde se obtiene:
MÉTODO MATRICIAL • De la ecuación anterior se obtienen los valores de ω2n y aplicando la ecuación: • Se obtienen los valores de φn. • De lapropiedad de ortogonalidad de los nodos se obtiene:
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Normalización de los modos
• Algunas veces se aplica factores de escala a los modos naturales para estandarizar sus elementos asociándolos con sus amplitudes en varios grados de libertad. Este proceso es llamado normalización; algunas veces es conveniente normalizar cada modo de tal forma que el elemento mayor sea la unidad. Otrasveces es más ventajoso el normalizar cada modo de tal forma que el elemento correspondiente a algún grado de libertad en particular sea la unidad. En teoría y programas computacionales es común normalizar los modos de tal manera que mn tenga valores unitarios:
Normalización de los modos
• Donde la matriz [I] es la matriz de identidad. Los componentes de la matriz modal normalizada están dadospor:
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Factor de participación
• Las ecuaciones de movimiento para cada grado de libertad no dependen de los modos de vibración y tienen forma similar a la ecuación de movimiento de un sistema de un solo grado de libertad. El factor de participación, para sistemas de varios grados de libertad esta definida en forma matricial por
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