Vibraciones 2 grados de libertad

PRESENTA

PROYECTO DE VIBRACIONES MECÁNICAS EN SISTEMAS DE 2 GRADOS DE LIBERTAD.
CONTRERAS LÓPEZ MARIO ALBERTO GUZMÁN SEPÚLVEDA JOSÉ RAFAEL OROZCO MUÑIZ JUAN PABLO

La figura muestra un péndulo doble. Suponiendo pequeñas amplitudes de vibración y que además m = m1 = m2 y l = l1 = l2, usando las coordenadas x1 y x2, determine: a) b) c) El sistema de Ecuaciones Diferenciales del Movimiento.La Ecuación de frecuencias naturales. Las frecuencias naturales del Sistema.

Diagrama Cinemático Auxiliar (DCA):

Vector de Coordenadas Generalizadas

PARA LA MASA 1

PARA LA MASA 2

SEGUNDA LEY DE NEWTON PARA LA MASA 1

SEGUNDA LEY DE NEWTON PARA LA MASA 2

PARA LA CONFIGURACION DE EQUILIBRIO

Diagrama de la Configuración de Equilibrio (CDE):

Tenemos dos relacionesque son de importancia para la resolución de el sistema de ecuaciones diferenciales:

Ahora proponemos una estrategia de solución donde:

ECUACION DE FRECUENCIAS

Haciendo el cambio de Variable
g g Ω2 − 4 Ω + 2   = 0 l l
2

Ω = ω2 :

Resolviendo la Ecuación Cuadrática resultante para Ω, tenemos :
g 4 ± l
2   g 2   g  −4  − 4 (1)  2    l   l   

Ω1,2 =2 (1)

Ω1,2

g g 4 ± 2 2 g g l = l =2 ± 2 2 l l

Ω1,2 = 2 ±

(

g 2 l

)

De forma que las Frecuencias Naturales del Sistema son :

ω1 = Ω1 =

(2 +
(2 −

g 2 = 2 + l

)

2

g l

g → ω1 = 1.84776 l

ω2 = Ω 2 =

g 2 = 2 − l

)

2

g l

g → ω2 = 0.76537 l

Del DCA:
x1 − l1 sin θ1 = 0 y1 − l1 cos θ1 = 0 x2 − l1 sin θ1 − l2 sin θ 2 = 0 y1 − l1 cos θ1 − l2cos θ 2 = 0

Vectores Posición y Velocidad de Puntos de Interés
Para la esfera de masa m1:

rA / O = x1$ + y1 $ = l1 sin θ1 $ + l1 cos θ1 $ i j i j

v A / O = x1 $ + y1 $ = l1 θ1 cos θ1 $ − l1 θ1 sin θ1 $ i j i j
Para la esfera de masa m2:

•

•

•

•

rB/ O = x2 $ + y2 $ = ( l1 sin θ1 + l2 sin θ 2 ) $ + ( l1 cos θ1 + l2 cos θ 2 ) $ i j i j
vB / O
• • • • • $ + y $ =  l θcos θ + l θ cos θ  $ −  l θ sin θ + l θ sin θ  $ = x2 i 2 j  1 1 1 1 1 2 2 2i 1 2 2 2 j     •

Ec. de Lagrange :

T     d  ∂L   −  ∂L  = Q + AT λ  NC  dt  •    ∂ q      ∂ q    

T

QNC = 0

Porque no hay fuerzas externas o no conservativas aplicadas en el Sistema. Porque no existe ninguna Ecuación de Restricción en Posición que relacione las variablesdel Vector de Coordenadas Generalizadas.

A=0

  d  ∂L   ∂L  − =0 • dt  ∂ θ   ∂θ1   1   d  ∂L   ∂L  − =0 • dt  ∂ θ   ∂θ 2   2

KKK

(1) ( 2)

KKK

L ≡ T −V

Energía Cinética:
1 1 1 1 T = m1 v1 • v1 + m2 v2 • v2 = m1 v A / O • v A / O + m2 vB / O • vB / O 2 2 2 2
T=
• 1  • m1  l1 θ1 cos θ1 $ − l1 θ1 sin θ1 i 2  • • $  •  l θ cos θ $ − l θ sin θ j 1 1 i 1 1 1 1  

$ + j 

• • • • 1  •   •    •   •   m2  l1 θ1 cos θ1 + l2 θ 2 cos θ 2  $ −  l1 θ1 sin θ1 + l2 θ 2 sin θ 2  $  •  l1 θ1 cos θ1 + l2 θ 2 cos θ 2  $ −  l1 θ1 sin θ1 + l2 θ 2 sin θ 2  $  i j i j 2          

2 2 2 2 • • • • 1  •     1  •     T = m1  l1 θ1 cosθ1  +  − l1 θ1 sin θ1   + m2  l1 θ1 cosθ1 + l2 θ2 cosθ2  + −l1 θ1 sin θ1 − l2 θ2 sin θ2   2      2     

Desarrollando las operaciones dentro de los corchetes y simplificando por medio de las Identidades Trigonométricas correspondientes, llegamos a lo siguiente:

• • • 1  2 •2  1  2 •2 2 2 T = m1 l1 θ1  + m2 l1 θ1 + 2l1l2 θ1 θ2 ( cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2 ) + l2 θ2  2   2  

De forma que la Energía Cinética delSistema es :
• • • • • 1 1 1 2 2 2 2 2 2 T = m1l1 θ1 + m2l1 θ1 + m2l2 θ 2 + m2l1l2 θ1 θ 2 ( cos θ1 cos θ 2 + sin θ1 sin θ 2 ) 2 2 2

• • • • 1 1 2 2 2 2 T = ( m1 + m2 ) l1 θ1 + m2l2 θ2 + m2l1l2 θ1 θ2 ( cosθ1 cosθ2 + sinθ1 sinθ2 ) 2 2

Energía Potencial:
V = Ve + Vg
Ve = 0
Porque no existen en el Sistema elementos deformables, como resortes.

Tomando como nivel de referencia el Eje X del...