Sistemas Deformables. Elasticidad.

SISTEMAS CONTINUOS DEFORMABLES. ELASTICIDAD
June 27, 2011

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Introducción. Definiciones.

∆F Fuerzas por unidad de masa: f = lim∆m→0 ∆m

Fuerzas por unidad de superficie: t = lim∆S→0 ∆F . ∆S La tensión sobre una cara se puede descomponer en tres direcciones: una normal y dos tangenciales, perpendiculares → → → − − − entre sí. Si en un punto se elige un sistema de referencia O(i, j, k) yllamamos t1 , t2 , t3 a las tensiones sobre tres caras normales a los ejes, se puede escribir → − ˆ ˆ t1 = t11ˆ + t21 ˆ + t31 k = σxˆ + τyx ˆ + τzx k i j i j → − ˆ ˆ ˆ + t22 ˆ + t32 k = τxyˆ + σy ˆ + τzy k t2 = t12 i j i j → − ˆ ˆ t3 = t13ˆ + t23 ˆ + t33 k = τxzˆ + τyz ˆ + σz k i j i j donde se han utilizado la notación tensorial tij y la empleada en teoria de elasticidad, donde σ designa lastensiones normales y τ las tangenciales.

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Tetraedro de Cauchy.

Consideraremos un tetraedro elemental, tal que tres de sus aristas sean dx, dy y dz, mientras que la cara oblicua ˆ es normal al versor saliente: n = αˆ + β ˆ + γ k. La segunda ley de Newton aplicada al tetraedro da como resultado ˆ i j el teorema de Cauchy, que permite obtener la tension sobre una cara oblicua en función de lastensiones sobre tres caras normales: → − → − → − → − tn = α t1 + β t2 + γ t3
dSz dSx y para lo que se usado que dSn = α, dSn = β y dSn = γ. La fórmula vectorial se puede descomponer en tres ecuaciones escalares, que a su vex representan una relación tensorial: [tin ] = [tij ] [αj ] dS

de modo que [tij ] es un tensor al que denominaremos tensor de tension.

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Ecuaciones diferenciales delequilibrio y del movimiento.

La segunda ley de Newton para un continuo tiene la forma ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ → − → − − ˙ ρ f dτ + tn dS = ρ→dτ v
τ S τ

´´ → ´´´ − La proyección sobre el eje ii de la segunda integral es [ S tn dS]i = divφi dτ , donde se han aplicado los τ ˆ ˆ + ti2 ˆ + ti3 k. Por ser el volumen arbitrario, se tiene que teoremas de Cauchy y Gauss y se ha definido φi = ti1 i j ρfi +divφi = ρvi . Por tanto, la segunda ley de Newton para sistemas deformables es ˙ ρfi +
j

∂tij = ρ vi ˙ ∂xj

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Tensor de tensión.
σx [tij ] =  τyx τzx  τxy σy τzy  τxz τyz  σz

Es un tensor real y simétrico, por lo que puede diagonalizarse mediante una rotación:   σx 0 0 [tij ] =  0 σy 0  0 0 σz de modo que σx , σy y σz son los autovalores de [tij ], y son reales positivos siel tensor es de tracción y reales negativos si lo es de compresión. Sobre las caras ˆ , ˆ , k , denominaras ejes principales, no existenes tensiones i j ˆ tangenciales, por lo que las tensiones normales se denominan tensiones principales. La traza del tensor, θ = σx + σy + σz , es un invariante: θ = θ, como ocurre con cualquier tensor real y simétrico.

4.1

Cuádrica de Cauchy
→ 2 → 2 → 2 − −− ti x + t2 y + t3 z = ±1

Asociada al tensor de tensiones diagonal esta la cuádrica de Cauchy, cuya expresión es

siendo x=

α |tnn |

y=

β |tnn |

z=

γ |tnn |

El signo (±) se debe a que las tensiones pueden ser positivas o negativas. Se presentan tres casos: 1. Tensiones del mismo signo: tanto si son positivas como negativas, la cuátrica es un elipsoide de ecuación |t1 |x2 + |t2|y 2 + |t3 |z 2 = 1. 2. Tensiones de distinto signo (t3 con distinto signo, por ejemplo): es válido el doble signo, obteniéndose un hiperboloide de una hoja de ecuación t1 x2 + t2 y 2 − |t3 |z 2 = 1 y un hiperboloide de dos hojas: −|t1 |x2 − |t2 |y 2 + t3 z 2 = 1.

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Desplazamientos.

Sea R0 un punto de un continuo que subre un desplazamiento s0 hasta la posición R0 , mientras que otropunto R, − referido al anterior por →, subre un desplazamiento s y pasa a R . Se tiene que r → = u ˆ+ u ˆ + u k − ˆ s 1i 2j 3 → = u ˆ+ u ˆ + u k − ˆ s0 01 i 02 j 03 → = xˆ + yˆ + z k − ˆ r i j − Las componentes de →, en un desarrollo de Taylor de primer orden y expresadas de forma compacta son [ui ] = s
∂ui ∂ui [u0i ] + ∂xj [xj ], donde el tensor ∂xj se ha calculado en el punto R0 . Dado que...