Sistemas numericos

Unidad Uno

A. Escritura de números, base de un sistema numérico

Hemos aprendido en el colegio que una cifra puede ser descompuesta a partir de sus dígitos posicionales,

Ejemplo, de una cifra entera sin signo

729, escrito en base 10, en una representación posicional

equivale a 7 veces 100 + 2 veces 10 + 9 veces 1

72910= 7*102 + 2*101 + 9*100 , esta expresadoen potencias de su base

Ejemplo, de una cifra con parte fraccional sin signo

62,4310 = 6*101 + 2*100 + 4*10-1 + 3*10-2

Observación: en una base x hay x signos para representar dígitos

En base 10 hay 10: 0,1,...,9
En base 8 hay 8: 0,1, ....,7
En base 2 hay 2: 0,1

Supongase una cifra escrita en notación posicional en base x:

e d c b ax = ex4 + dx3 + cx2 + bx1 + ax0Ejercicio: escribir un numero en base 6 y convertir a base 10

5436 = 5*62 + 4*61 + 3*60

= 5*36 + 4*6 + 3
= 20710

Ejercicio, como escribir en otra base un numero que esta en base 10:

Llevar a base 6 el numero 20710

1. (20710 = a60 + b61 + c62 + d63 + ... +z6n ) / 6 (divide por la base)

2. 207 / 6 = b60 + c61 + d62 + ... +z6n-1 + a/6

207 / 6 = 34 + (3 / 6), a/6= 3 / 6, por lo tanto a = 3

3. (34 = b60 + c61 + d62 + ... +z6n-1 ) / 6

34 / 6 = 5 + (4 / 6) , b / 6 = 4 / 6, por lo tanto b = 4

4. (5 = c + db1 + eb2 ) / 6

5 / 6 = 0 + 5 / 6 , c/6 = 5/6, por lo tanto c = 5

5. 207 10= 3*60 + 4*61 + 5*62

6. 20710 = 5436
Ejercicio : escribir 20710 en base 2

1. 20710 = a20 + b21 + c22 + d23 + ... +z2n
2. 207/2 = 103 + 1/2, a=1103/2 = 51 + 1/2, b=1
51/2 = 25 + 1/2, c=1
25/2 = 12 + 1/2, d=1
12/2 = 6 + 0/2, e=0
6/2 = 3 + 0/2, f=0
3/2 = 1 + 1/2 g=1
1/2 = 0 + 1/2 h=1

3. 20710 = h g f e d c b a2

20710 = 1 1 0 0 1 1 1 12

20710 = 1*27 + 1*26 + 0*25 + 0*24 + 1*23 + 1*22 + 1*21 + 1*20
20710 = 128+64+8+4+2+1

Ejercicio: escribir en base 12 una cifra en base 10
Se necesitan 12signos para escribir los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B

Dada la cifra 7A912 = 7*122 + A*121 + 9*120
= 7*144 + 10*12 + 9*12
= 1008 + 120 + 9
= 113710

Ejercicio, el caso inverso, escribir un numero de base 10 en base 12

1. 113710 = a120 + b121 + c1212 + d123 + ... +z12n

2. 1137/12= 94 + 9/12,a=9
94/12 = 7 + 10/12, b=10=A
7/12 = 0 + 7/12, c=7

3. 113710 = 7A912

Ejercicio, caso de representación de cifras no enteras, fraccional.

Dado 0,324, en base 4 encontrar su expresión en base 10

1. 0,324 = 3*4-1 + 2*4-2

2. 0,32,= 3*1/4 + 2*1/16
3. 0,32 = 0.75 + 0.125
4. 0.324 = 0.87510

Dado 0.87510, obtener su representación en base 4

1. 0.87510 = 0.x y z.4= x*4-1 + y*4-2 + z*4-3 + ... + /*4
2. 0.875 * 4 = 0.5 + 3 , x = 3
0.5 * 4 = 0.0 + 2 , y = 2

3. 0.87510 = 3* 4-1 + 2*4-2
= 0.324
Conversión directa entre bases múltiplos

La conversión entre bases múltiplos de 2 puede hacerse en forma directa sin recurrir a cálculos aritméticos.

Bases múltiplos son: binaria (20) octal (23), hexadecimal (24)

|decimal|binario |octal |hexadecimal |
|0 |0000 |0 |0 |
|1 |0001 |1 |1 |
|2 |0010 |2 |2 |
|3 |0011 |3 |3 |
|4 |0100|4 |4 |
|5 |0101 |5 |5 |
|6 |0110 |6 |6 |
|7 |0111 |7 |7 |
|8 |1000 |10 |8 |
|9 |1001...