Sistemas E Informacion Empresarial

2.5. Ecuaciones Lineales
Las ecuaciones con dos o más incógnitas, son lineales o simultáneas cuando se satisfacen los mismos valores para las incógnitas. Es decir:
x + y = 7
x - y = 3
Podemos observar que son lineales ya que x= 5, y = 2, satisfacen las incógnitas de ambas ecuaciones.
Para la resolución de ecuaciones lineales más compleja existen varios métodos de eliminación, los más usualesson los métodos de Eliminación por sustitución, Eliminación por igualación, Método de reducción y la Regla de Cramer.

2.5.1. Eliminación por Igualación
Desarrollar el siguiente sistema:
14x -11y = -29
-8x +13y = 30
Despejando cualquier incógnita, por ejemplo x, tenemos:
x=-29+11y14
x=30-13y-8
Después de despejar x en las dos ecuaciones, las igualamos entre sí:
-29+11y14=30-13y-8
Yahecha esta igualación tenemos solo una ecuación con una incógnita, por lo tanto:
-8(-29 + 11y) = 14(30 – 13y)
232 – 88y = 420 -182y
94y = 188
y = 18894
y = 2
Sustituyendo el valor de y en cualquiera de las ecuaciones iniciales, tenemos:
14x -11y = -29
14x – 11(2) = -29
14x - 22 = -7
14x = -7
x = -12≈ -0,5
Por lo tanto podemos decir que:
x= -0,5
y = 2
Para comprobar si los valores obtenidos son los correctos, basta con reemplazar los valores de x, y en las dos ecuaciones dadas, quedando convertidas en una identidad, así:
14x -11y = -29 -8x +13y = 30
14(-0,5) -11(2) = -29 -8(-0,5) + 13(2) =30
-7 - 22 = -29 4 + 26 = 30
-29 = -29 30= 30
De acuerdo a lo anterior y después de constatarla identidad en las dos ecuaciones podemos decir que tanto el valor para x como para y son los correctos.
2.5.2. Eliminación por Sustitución
Otro de los métodos para resolver ecuaciones es el de eliminación por sustitución que mostraremos mediante el siguiente ejemplo:
Resolver el sistema:
2x -11y = -29
-8x +14y = 56
Despejamos cualquier incógnita de cualquier ecuación:
2x = -29 + 11yx=-29+11y2
Después de despejar la incógnita con su correspondiente valor, procedemos a reemplazarla en la otra ecuación:
-8-29+11y2+14y=56
Simplificamos -8 y 2, y nos queda:
-4(-29 + 11y)+14y =56
116-44y + 14y = 56
30y = 60
y = 2
Una vez encontrado el valor de y, lo reemplazamos en cualquiera de las ecuaciones iniciales:
2x -11y = -29
2x-11(2)=-29
2x - 22 = -29
2x= -7
x = -3.5
Por lo tanto podemos decir que:
x= - 3,5
y = 2
Para comprobar si los valores obtenidos son los correctos, basta con reemplazar los valores de x, y en las dos ecuaciones dadas, quedando convertidas en una identidad, así:
2x -11y = -29 -8x +14y = 56
2(-3.5) – 11(2) = -29 -8(-3.5) + 14(2) = 56
-7 – 22 = -29 28 + 28 = 56
-29= -29 56 = 56
Deacuerdo a lo anterior y después de constatar la identidad en las dos ecuaciones podemos decir que tanto el valor para x como el valor para y son los correctos.

2.5.3. Eliminación por Reducción
Para comprender éste método de solución de ecuaciones lineales nos remitimos al siguiente ejemplo:
Resolver el sistema:
3x +12y = 27
2x – 4y = 6
En éste método lo que se busca es hacer igual cualquierade los coeficientes de una de las incógnitas. En éste caso multiplicaremos el coeficiente de y, en la segunda ecuación por 3 (que es el m.cm de los dos coeficientes) para igualar términos, es decir:
3x + 12y = 27
6x – 12y = 18 (multiplicando por 3)
Una vez igualado los términos, donde los coeficientes de y tiene signos diferentes, procedemos a sumar:
3x+12y=27
6x-12y=18
9x =45Después de sumados los términos, despejamos x:
x=459
x=5
Sustituyendo x=3 en cualquiera de las ecuaciones tenemos:
3x+12y=27
335+12y=27
9+12y=27
12y=12
y=1212
y=1
Para comprobar si los valores obtenidos son los correctos, basta con reemplazar los valores de x, y en las dos ecuaciones dadas, quedando convertidas en una identidad, así:
3x + 12y = 27 6x – 12y = 18
3(5) + 12(1) =27...