Sociologia Globaliz

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE
MADRID PRUEBA DE ACCESO A ESTUDIOS
UNIVERSITARIOS (LOE)
EXAMEN MODELOCURSO 2011-2012
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
INSTRUCCIONES: El alumno deberá elegir una de las dos opciones A o B que figuran en el presente examen
y contestar razonadamente a los cuatro ejercicios de que consta dicha opción. Para la realización de esta pruebapuede utilizarse calculadora científica, siempre que no disponga de capacidad de representación gráfica o de
cálculo simbólico.
TIEMPO: 90 minutos.

OPCIÓN A
Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real k:
x + ky + kz = k

 x+y+z = k
 ky + 2z
=k

a) Discútase el sistema para los diferentesvalores de k.
b) Resuélvase el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones.
c) Resuélvase el sistema para k = 4.
Solución.
a.
El sistema esta descrito por la matriz de coeficientes (A) y la matriz ampliada (A*).
1 k k 
1 k k k 




A ⊂ A* ⇒ rg A ≤ rg A* ≤ 3
n=3
A =  1 1 1  A* =  1 1 1 k 
0 k 2
0 k 2 k




Si el |A| ≠ 0, rg A = 3 = rg A* = n. Sistemacompatible determinado. Se discute el tipo de solución para
los valores del parámetro K que anulan el determinante de la matriz de coeficientes.
1kk

det A = 1 1 1 = 2 + 0 + k 2 − (0 + 2k + k ) = k 2 − 3k + 2 = (k − 1)(k − 2 )
0k2
k −1 = 0 : k = 1
A = 0 : (k − 1)(k − 2) = 0 : 
k − 2 = 0 : k = 2

Discusión:
i.
Si k ≠ 1, 2. |A| ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = n = 3. Sistema compatible determinado1 1 1


ii.
Si k = 1: A =  1 1 1  . |A| = 0 ⇒ rg A < 3. Se busca un menor de orden dos distinto de cero para
0 1 2


11
comprobar si la matriz tiene rango 2.
= 1 ≠ 0 ⇒ rg A = 2. El rango de la matriz ampliada se
01
estudia en los menores orlados a

11
01

. De los dos menores orlados, uno de ellos es el determinante

111
de la matriz de coeficientes, por lo tanto soloqueda por estudiar 1 1 1 = 0 ⇒ rg A* = 2. Sistema

011
compatible indeterminado (rg A = rg A* = 2 < n = 3).

Modelo Propuesto por U.C.M. CURSO 2011 − 2012 (L.O.E.)

1

1 2 2


Si k = 2: A =  1 1 1  . |A| = 0 ⇒ rg A < 3. Se busca un menor de orden dos distinto de cero para
0 2 2


12
comprobar si la matriz tiene rango 2.
= −1 ≠ 0 ⇒ rg A = 2. El rango de la matriz ampliadase
11

iii.

estudia en los menores orlados a

12
21

. De los dos menores orlados, uno de ellos es el determinante

122
de la matriz de coeficientes, solo queda por estudiar 1 1 2 = −2 ≠ 0 ⇒ rg A* = 3. Sistema

022
incompatible indeterminado (rg A = 2 ≠ rg A* = 3).

x + y + z = 1

b.
Se pide resolver el sistema compatible indeterminado (k = 1): x + y + z = 1 . Por ser derango 2, el
 y + 2z = 1

sistema tiene dos ecuaciones linealmente independientes por lo que se debe eliminar una. Aunque en este
caso queda claro que deberá ser la 1ª o la 2ª (son iguales), ante cualquier duda, se eliminaran las que no
formen parte del menor de orden dos distinto de cero.
x + y + z = 1

 y + 2z = 1
Para resolver el sistema, se transforma una variable en parámetro yse resuelve el sistema en función de
él. La variable que se transforma en parámetro en la que sus coeficientes no formaron parte del menor de orden
dos distinto de cero (z = λ)
 x=λ
x + y = 1 − λ 
:  y = 1 − 2λ

 y = 1 − 2λ  z = λ

Solución: (λ, 1‒2λ, λ) ∀ λ ∈ R.

c.

 x + 4 y + 4z = 4

k = 4:  x + y + z = 4 . Sistema compatible determinado. Se resuelve por cualquier
 4y + 2z
=4


método (Cramer).
x=

Ax

Ay

y=

A

A

z=

Az
A

k =4

A = (k − 1)(k − 2) = (4 − 1)(4 − 2 ) = 6

x=

444
411
442
6

=

24
=4
6

y=

144
141
042
6

=

12
=2
6

z=

144
114
044
6

=

Modelo Propuesto por U.C.M. CURSO 2011 − 2012 (L.O.E.)

− 12
= −2
6

2

Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Una empresa de...