Solidos Arquimedianos
Páginas: 5 (1174 palabras)
Publicado: 1 de agosto de 2012
LOS SÓLIDOS ARQUIMEDIANOS
Los sólidos arquimedianos o sólidos de Arquímedes son poliedros convexos de caras regulares y vértices uniformes, pero no de caras uniformes. Fueron ampliamente estudiados por Arquímedes. Algunos se obtienen truncando los sólidos platónicos; son once: el Tetraedro truncado, el Cuboctaedro, el Cubo truncado, el Octaedro truncado, el Rombicuboctaedro, el Cuboctaedrotruncado, el Icosidodecaedro, el Dodecaedro truncado, el Icosaedro truncado, el Rombicosidodecaedro y el Icosidodecaedro truncado.
Y dos más que no se obtienen truncando sólidos platónicos: el cubo romo y el
icosidodecaedro romo. Estas dos figuras tienen caso isomórfico; es decir, una figura de espejo correspondiente.http://www.grupoalquerque.es/ferias/2010/archivos/poster/solidos_arquimedianos.pdf
LOS SÓLIDOS PLATÓNICOS
Los sólidos platónicos son poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices se unen el mismo número de caras. Reciben este nombre en honor al filósofo griego Platón (ca. 427 adC/428 adC – 347 adC), a quien se atribuye haberlos estudiado enprimera instancia. También se conocen como cuerpos platónicos, cuerpos cósmicos, sólidos pitagóricos, sólidos perfectos, poliedros de Platón o, con más precisión, poliedros regulares convexos.
Los sólidos platónicos son el tetraedro, el cubo (o hexaedro regular), el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. Esta lista es exhaustiva, ya que es imposible construir otro sólido diferente de los anterioresque cumpla todas las propiedades exigidas, es decir, convexidad y regularidad.
Las propiedades de estos poliedros son conocidas desde la antigüedad clásica, hay referencias a unas bolas neolíticas de piedra labrada encontradas en Escocia 1000 años antes de que Platón hiciera una descripción detallada de los mismos en Los elementos de Euclides. Se les llegó a atribuir incluso propiedades mágicaso mitológicas; Timeo de Locri, en el diálogo de Platón dice «El fuego está formado por tetraedros; el aire, de octaedros; el agua, de icosaedros; la tierra de cubos; y como aún es posible una quinta forma, Dios ha utilizado ésta, el dodecaedro pentagonal, para que sirva de límite al mundo». Los antiguos griegos estudiaron los sólidos platónicos a fondo, y fuentes (como Proclo) atribuyena Pitágoras su descubrimiento. Otra evidencia sugiere que sólo estaba familiarizado con el tetraedro, el cubo y el dodecaedro, y que el descubrimiento del octaedro y el icosaedro pertenecen a Teeteto, un matemático griego contemporáneo de Platón. En cualquier caso, Teeteto dio la descripción matemática de los cinco poliedros y es posible que fuera el responsable de la primera demostración de que no existenotros poliedros regulares convexos.
Propiedades
Regularidad
Tal y como se ha expresado para definir estos poliedros:
▪ Todas las caras de un sólido platónico son polígonos regulares iguales.
▪ En todos los vértices de un sólido platónico concurren el mismo número de caras y de vértices.
▪ Todas las aristas de un sólido platónico tienen la misma longitud.
▪ Todos losángulos diedros que forman las caras de un sólido platónico entre sí son iguales.
▪ Todos sus vértices son convexos a los del icosaedro.
Simetría
Los sólidos platónicos son fuertemente simétricos:
▪ Todos ellos gozan de simetría central respecto a un punto del espacio (centro de simetría) que equidista de sus caras, de sus vértices y de sus aristas.
▪ Todos ellos tienenademás simetría axial respecto a una serie de ejes de simetría que pasan por el centro de simetría anterior.
▪ Todos ellos tienen también simetría especular respecto a una serie de planos de simetría (o planos principales), que los dividen en dos partes iguales.
Como consecuencia geométrica de lo anterior, se pueden trazar en todo sólido platónico tres esferas particulares, todas ellas...
Los sólidos arquimedianos o sólidos de Arquímedes son poliedros convexos de caras regulares y vértices uniformes, pero no de caras uniformes. Fueron ampliamente estudiados por Arquímedes. Algunos se obtienen truncando los sólidos platónicos; son once: el Tetraedro truncado, el Cuboctaedro, el Cubo truncado, el Octaedro truncado, el Rombicuboctaedro, el Cuboctaedrotruncado, el Icosidodecaedro, el Dodecaedro truncado, el Icosaedro truncado, el Rombicosidodecaedro y el Icosidodecaedro truncado.
Y dos más que no se obtienen truncando sólidos platónicos: el cubo romo y el
icosidodecaedro romo. Estas dos figuras tienen caso isomórfico; es decir, una figura de espejo correspondiente.http://www.grupoalquerque.es/ferias/2010/archivos/poster/solidos_arquimedianos.pdf
LOS SÓLIDOS PLATÓNICOS
Los sólidos platónicos son poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices se unen el mismo número de caras. Reciben este nombre en honor al filósofo griego Platón (ca. 427 adC/428 adC – 347 adC), a quien se atribuye haberlos estudiado enprimera instancia. También se conocen como cuerpos platónicos, cuerpos cósmicos, sólidos pitagóricos, sólidos perfectos, poliedros de Platón o, con más precisión, poliedros regulares convexos.
Los sólidos platónicos son el tetraedro, el cubo (o hexaedro regular), el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. Esta lista es exhaustiva, ya que es imposible construir otro sólido diferente de los anterioresque cumpla todas las propiedades exigidas, es decir, convexidad y regularidad.
Las propiedades de estos poliedros son conocidas desde la antigüedad clásica, hay referencias a unas bolas neolíticas de piedra labrada encontradas en Escocia 1000 años antes de que Platón hiciera una descripción detallada de los mismos en Los elementos de Euclides. Se les llegó a atribuir incluso propiedades mágicaso mitológicas; Timeo de Locri, en el diálogo de Platón dice «El fuego está formado por tetraedros; el aire, de octaedros; el agua, de icosaedros; la tierra de cubos; y como aún es posible una quinta forma, Dios ha utilizado ésta, el dodecaedro pentagonal, para que sirva de límite al mundo». Los antiguos griegos estudiaron los sólidos platónicos a fondo, y fuentes (como Proclo) atribuyena Pitágoras su descubrimiento. Otra evidencia sugiere que sólo estaba familiarizado con el tetraedro, el cubo y el dodecaedro, y que el descubrimiento del octaedro y el icosaedro pertenecen a Teeteto, un matemático griego contemporáneo de Platón. En cualquier caso, Teeteto dio la descripción matemática de los cinco poliedros y es posible que fuera el responsable de la primera demostración de que no existenotros poliedros regulares convexos.
Propiedades
Regularidad
Tal y como se ha expresado para definir estos poliedros:
▪ Todas las caras de un sólido platónico son polígonos regulares iguales.
▪ En todos los vértices de un sólido platónico concurren el mismo número de caras y de vértices.
▪ Todas las aristas de un sólido platónico tienen la misma longitud.
▪ Todos losángulos diedros que forman las caras de un sólido platónico entre sí son iguales.
▪ Todos sus vértices son convexos a los del icosaedro.
Simetría
Los sólidos platónicos son fuertemente simétricos:
▪ Todos ellos gozan de simetría central respecto a un punto del espacio (centro de simetría) que equidista de sus caras, de sus vértices y de sus aristas.
▪ Todos ellos tienenademás simetría axial respecto a una serie de ejes de simetría que pasan por el centro de simetría anterior.
▪ Todos ellos tienen también simetría especular respecto a una serie de planos de simetría (o planos principales), que los dividen en dos partes iguales.
Como consecuencia geométrica de lo anterior, se pueden trazar en todo sólido platónico tres esferas particulares, todas ellas...
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