Solidos platonicos

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Sólidos platónicos
Los sólidos platónicos son poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices se unen el mismo número de caras. Reciben este nombre en honor al filósofo griegoPlatón (ca. 427 adC/428 adC – 347 adC), a quien se atribuye haberlos estudiado en primera instancia. También se conocen como cuerposplatónicos, cuerpos cósmicos, sólidos pitagóricos,sólidos perfectos, poliedros de Platón o, con más precisión, poliedros regulares convexos.
Los sólidos platónicos son el tetraedro, el cubo (o hexaedro regular), el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. Esta lista es exhaustiva, ya que es imposible construir otro sólido diferente de los anteriores que cumpla todas las propiedades exigidas, es decir,convexidad y regularidad.
Contenido  [ocultar]  * 1 Historia * 2 Propiedades * 2.1 Regularidad * 2.2 Simetría * 2.3 Conjugación * 2.4 Esquema * 3 Tabla comparativa * 4 Poliedros regulares en la naturaleza * 5 Curiosidades * 6 Bibliografía * 7 Véase también * 8 Enlaces externos |
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[editar]Historia
Laspropiedades de estos poliedros son conocidas desde la antigüedad clásica, hay referencias a unas bolas neolíticas de piedra labrada encontradas en Escocia 1000 años antes de que Platón hiciera una descripción detallada de los mismos en Los elementos de Euclides. Se les llegó a atribuir incluso propiedades mágicas o mitológicas; Timeo de Locri, en el diálogo de Platón dice «El fuego está formado portetraedros; el aire, de octaedros; el agua, de icosaedros; la tierra de cubos; y como aún es posible una quinta forma, Dios ha utilizado ésta, el dodecaedro pentagonal, para que sirva de límite al mundo». Los antiguos griegos estudiaron los sólidos platónicos a fondo, y fuentes (como Proclo) atribuyen a Pitágoras su descubrimiento. Otra evidencia sugiere que sólo estaba familiarizado con el tetraedro,el cubo y el dodecaedro, y que el descubrimiento del octaedro y el icosaedro pertenecen a Teeteto, un matemático griego contemporáneo de Platón. En cualquier caso, Teeteto dio la descripción matemática de los cinco poliedros y es posible que fuera el responsable de la primera demostración de que no existen otros poliedros regulares convexos.
-------------------------------------------------[editar]Propiedades
[editar]Regularidad
Tal y como se ha expresado para definir estos poliedros:
* Todas las caras de un sólido platónico son polígonos regulares iguales.
* En todos los vértices de un sólido platónico concurren el mismo número de caras y de aristas.
* Todas las aristas de un sólido platónico tienen la misma longitud.
* Todos los ángulos diedros que forman las caras deun sólido platónico entre sí son iguales.
* Todos sus vertices son convexos a los del icosaedro.
[editar]Simetría
Los sólidos platónicos son fuertemente simétricos:
* Todos ellos gozan de simetría central respecto a un punto del espacio (centro de simetría) que equidista de sus caras, de sus vértices y de sus aristas.
* Todos ellos tienen además simetría axial respecto a una seriede ejes de simetría que pasan por el centro de simetría anterior.
* Todos ellos tienen también simetría especular respecto a una serie de planos de simetría (o planos principales), que los dividen en dos partes iguales.
Como consecuencia geométrica de lo anterior, se pueden trazar en todo sólido platónico tres esferas particulares, todas ellas centradas en el centro de simetría del poliedro:* Una esfera inscrita, tangente a todas sus caras en su centro.
* Una segunda esfera tangente a todas las aristas en su centro.
* Una esfera circunscrita, que pase por todos los vértices del poliedro.
Proyectando los centros de las aristas de un poliedro platónico sobre su esfera circunscrita desde el centro de simetría del poliedro se obtiene una red esférica regular, compuesta por...