Solución de ecuaciones lineales y no lineales y valores característicos

Solución de Ecuaciones Lineales y no Lineales y Valores Característicos

SISTEMAS DE ECUACIONES SIMULTANEAS

Considérese un sistema de la forma:



Donde aij, bi son números reales, lo podemos escribir como:



Es decir Ax = b

Donde A es la matriz de coeficientes del sistema, b el termino independiente y x las incógnitas.La solución es un conjunto donde n valores de x, satisfacen las soluciones simultáneamente. Presentando alguno de los siguientes casos:

Caso 1: m = n sistema compatible y determinado. El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.
Caso 2: m < n sistema subdeterminado, el número de ecuaciones es menor que el de las incógnitas.
Caso 3: m > n sistema sobredeterminado, el numero deecuaciones es mayor que el numero de incógnitas.

Consideraremos que el número de incógnitas, será igual al número de ecuaciones. La matriz aumentada se escribe como:

ELIMINACIÓN GAUSIANA (con sustitución hacia atrás)

La eliminación Gaussiana consta de dos partes, la primera consiste en encontrar mediante sumas y restas, una matriz triangular: La segunda parte consiste en resolver elsistema triangular por sustitución hacia atrás, como:

1.- Intercambiar los renglones (seleccionar un pivote), equivalente a reordenar las ecuaciones.
2.- Multiplicar los elementos de un renglón (pivote) por un escalar diferente de cero.
3.- Sumar todos los elementos correspondientes a los dos renglones para formar una matriz triangular superior.

Ejemplo. Resolver


Seleccione comopivote el elemento (1,1), multiplique por –3/4 y al producto resultante sume con el renglón (2) del termino a eliminar (2,1).





Repita el procedimiento seleccionando nuevamente el elemento (1,1) como pivote y multiplique por –6/4 y al producto resultante sume con el renglón (3) del termino a eliminar (3,1).



Seleccione como pivote el elemento (2,2), multiplique por –14/15 y alproducto resultante sume con el renglón (3) del termino a eliminar (3,2).



Ahora que ha formado una matriz triangular superior escriba el sistema de ecuaciones resultante.








Sustituyendo hacia atrás.

Despeje el valor de x3 en la ecuación (3’)






De la ecuación (2’) despeje x2 y sustituya el valor de x3.






De la ecuación (1’) despeje x1 y sustituya elvalor de x2, x3.




La solución es:




El determinante estará dado por:





Que consiste en multiplicar los elementos de la diagonal principal.




METODO DE GAUSS JORDAN (eliminación completa)

Consiste en obtener un sistema equivalente a partir del original, mediante operaciones elementales sobre los renglones de la matriz ampliada. (se puede encontrar al mismo tiempo,la solución del sistema y la inversa). Siguiendo los pasos del método de sustitución hacia atrás:

1.- Convierta en uno el elemento seleccionado como pivote.
2.- Convierta en ceros todos los elementos de la columna donde se encuentra el pivote.
3.- Seleccione un nuevo pivote, en un renglón y columna diferente al anterior.
4.- Repetir los pasos anteriores hasta obtener una matriz decoeficientes formados por ceros y unos (matriz identidad).


Ejemplo. Resolver


Obtenga la matriz aumentada, según sea el caso (encontrar la solución, calcular la inversa o ambos), multiplique el elemento pivote por 1/4 para convertirlo en uno.








Multiplique por –3 el renglón (1) y sume el resultado del producto con el renglón (2) para eliminar el elemento (2,1)Multiplique por -6 el renglón del pivote y sume el producto resultante con el renglón (3) para eliminar el elemento (3,1)










Seleccione como pivote el elemento (2,2) y convierta en uno multiplicando el renglón (2) por (4/15).








Multiplique por –7/2 el renglón (2) y sume el producto resultante con el renglón (3) para eliminar el elemento (3,2)....