SOLUCIÓN DE INTEGRALES INDEFINIDAS



SOLUCIÓN DE INTEGRALES INDEFINIDAS, REDUCIBLES A INMEDIATAS POR SUSTITUCIÓN ALGEBRAICA
Las integrales que contienen expresiones del tipo o pueden integrarse fácilmente mediante cualquiera de los siguientes métodos
Primer método:
Sí una integral implica una expresión de segundo grado de tres términos o de dos términos esta puede reducirse a una expresión de dos términos y completandoel cuadrado (sustitución algebraica).
Ejemplos:
Calcular la
Solución
En la integral propuesta identificamos la expresión que es de a forma .completando el cuadrado para tenemos:
Es decir:

Por lo anterior, resulta que: =
Aplicando la fórmula 18, tenemos que:









Segundo método
Cuando el integrando es una fracción cuyo numerador es una expresión de primer grado, mientras que eldenominador es una expresión de segundo grado o la raíz cuadrada de tal expresión, la integral dada puede reducirse a una integral inmediata, como se explica a continuación.
Ejemplos:
Calcular

Solución
Multiplicamos el numerador de la integral por dx, y nos da el resultado:
=
Aplicando directamente la fórmula 3, tenemos:
=


Ahora integramos cada una de las integralesresultantes en forma individual
En esta integral, identificamos que

Se nota que el diferencial de la variable dv=2x dx completa el diferencial de la integral x dx, por lo que es posible aplicar directamente la fórmula 5. Se nota que en el diferencial de la variable 2x dx nos sobra la constante 2, la cual pasa en forma recíproca multiplicando al resultado de la integral:


En estaintegral identificamos que:


Se observa que el diferencial de la variable dv=dx completa el diferencial dx, por lo cual estamos en condiciones e aplicar directamente la fórmula 18, es decir:

Escribiendo en forma unificada el resultado de cada integral,tenemos que:



















SOLUCION DE INTEGRALES INDEFINIDAS REDUCTIBLES A INMEDIATAS POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Para resolver integrales indefinidas que contengan el radical o y que son reductibles a integrales inmediatas por sustitución trigonométrica, se recomienda efectuar un cambio de variable, ya que es el método mas corto para integrar tales expresiones.
El cambio de variable serealiza:
1.- Cuando se tiene , hágase u= a sen z.
2.- Cuando se tiene , hágase u= a tg z.
3.- Cuando se tiene , hágase u= a sec z.
Estas sustituciones se emplean para demostrar las formulas 18 a la 24 del formulario general de integrales inmediatas
También se hace notar que en cada caso el signo radical desaparece es decir:
1.- = a = a cos z.
2.- = a= a sec z.
3.- = a = a tg z.
Ejemplos:
1.- Hallar la
Solución
De la integral propuesta, tenemos que:
u = x a =

Es decir = como se tiene = el cambio de variable que debe realizarse esu=a sen z, de donde y también du=a cos z dz.
Efectuando la sustitución en la integral, tenemos que:


Por la formula trigonométrica, se tiene que: cos2 z = 1 – sen2 z
Sustituyendo en la integral, resulta:
= ===
Por formula trigonométrica, se tiene que: = sec2 z
Sustituyendo en la integral, resulta: = = z dz
La integral resultante se parece a la fórmula 10, donde identificaremos que:
v = z
dv= dz
= tg z + C } Resultado parcial
De u=a sen z, tenemos que: sen z = = . Trazando un triángulo rectángulo y aplicando el Teorema de Pitagoras, resulta:

(Ady)2 = (Hip)2 – (Op)2
Ady =


Aquí “Op” es el lado opuesto al Angulo, “Hip” es la hipotenusa y “Ady” es el lado adyacente al ángulo.
Sustituyendo el resultado parcial, tenemos que
tg z + C =...