Solución En Forma Cerrada De Un Problema De Valor Inicial De Orden N

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Solución en forma cerrada de un problema de valor inicial de orden n

Solución en forma cerrada de un problema de valor inicial de orden n
José Albeiro Sánchez Cano Departamento de Ciencias Básicas_ Universidad EAFIT josanche@eafit.edu.co Resumen Este artículo presenta un método simple para encontrar la solución general de una ecuación de orden n en forma cerrada usando de integralesanidadas.

Abstract This paper presents a simple method to find the general solution of an equation of order n in closed form by using of nested integrals.

Palabras claves: Problemas de valor inicial, Integrales anidadas . Keys words: Initial value problems, Nested integrals. Introducción La integral anidada es una integral evaluada múltiple veces sobre una misma variable en contraste a lasintegrales múltiples, que consiste de un número de integrales evaluadas con respecto a variables diferentes. Más exactamente, si f x  es una función continua definida en   R. y x0   , entonces

 
x xn x3

x2



f x1 dx1 dx 2  dx n 1 dx n 

x0 x0 x0 x0  n  veces

1 n!



x x0

x  u n f u du

1

Para su demostraciónver (ver [G. Shilov]). En particular, se resolverá el PVI (2) integrando repetidamente (n veces) la ecuación (2) y usando las condiciones iniciales dadas. En cada paso se usará la ecuación (1) para llegar a la solución general en forma cerrada, esto es, la obtención de una formula.

José Albeiro Sánchez Cano_ Universidad EAFIT_ 2011

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Proposición 1. La solución general del PVI dadopor
y n  x   f x ; yx0   c0 , y x0   c1 , y x0   c2 ,, y n1 x0   cn1

2

viene dada por
yx   1 n  1!



x x0

x  s n1 f s ds 
n k 1

cnk x  x0 nk n  k !

3

Demostración Para su demostración integraremos repetidamente la ecuación (2) y usaremos la igualdad integral (1) En efecto, integrando con respecto a x la ecuación (2)se obtiene:
y n1 x  

 f sds  c
x x0

n 1

4

Observar que se satisface la condición inicial, esto es, y n1 x0   cn1 . Integrando la ecuación (4) con respecto a x, tenemos
y n 2  x  

 
x x0
x

s

f u dsds  cn1ds  cn2
x0

x0



x

5

Aplicando (1) en el primer término del segundo miembro, se encuentra
y n  2  x   1 1!

 x s f sds  cn1ds  cn2
x x0 x0

6

En la ecuación (6) se cumple la condición inicial: y n2  x0   cn2 . Integrando nuevamente con respecto a x en ambos miembros de la ecuación anterior (6), tenemos:

y  n 3   x  



1  x0 1!
x

s  u  f u du  ds    
s x0

x x0





s x0

cn1duds 

c
x x0
x

n2

ds  cn3

A los dosprimeros términos del segundo miembro de la última ecuación se aplica nuevamente la ecuación (3), obteniendo:
y  n 3   x   1 2!



x x0

x  s 2 f s ds  1 
1!

x x0

cn1 x  s ds 

c
x0

n2

ds  cn3

3

Solución en forma cerrada de un problema de valor inicial de orden n

satisfaciendo y n3 x0   cn3 . Siguiendo con el proceso, en la k-ésimaintegración se obtiene,
y
n k 

x   1 k  1!



x x0

x  s 

k 1

f s ds 


i 1

k 1

1 k  i  1!



x x0

c n i  x  s 

k i 1

ds  cn k

7

satisfaciendo la condición inicial y nk  x0   cnk . Observar que si se integra nuevamente la ecuación anterior, se tiene:
y n k 1 x  



1 x0 k  1! 

x



s x0

s u k 1 f u duds


i 1

k 1

1 k  i  1!


x x0

s x0

c n i s  u 

k i 1

duds 

c
x x0

nk

ds  c n  k 1

Si se aplica la ecuación (3) en la parte derecha de la ecuación anterior, se tendría
y
n k 1

x   1 k!



x x0

s  u  f u du  
k i 1

k 1

1 k  i !



x x0

c n i  x  s 

n i

ds ...