Problema de valor inicial

PROBLEMA DE VALOR INICIAL
Con frecuencia nos pueden interesar problemas en los que se busca una solución y(x) de una ecuación diferencial de modo que y(x) satisfaga condiciones adicionalesprescritas, es decir, condiciones impuestas en la y(x) desconocida o sus derivadas. En algún intervalo I que contiene x₀, el problema…
Resolver: =f(x,y,y^',…y^((n-1))
Sujeta a: y(x_0 )=y_0,y^' (x_0)=y_1,…,y^((n-1) ) (x_0 )=y_(n-1),
Donde y_0, y_1,…,y_(n-1) son constantes reales especificadas de manera arbitraria, se llama problema de valores iniciales (PVI). Los valores de y(x) y sus primera n-1derivadas en un solo punto x_0: y(x_0)= y_0,y^' (x_0 )=y_1,…,y^((n-1) ) (x_0 )=y_(n-1), se llaman condiciones iniciales.
PVI de primer y segundo orden.
El problema que se proporciona arriba se llamatambién problema de valores iniciales de n-ésimo orden. Por ejemplo:
Resolver: dy/dx=f(x,y) (2)
Sujeta a: y(x_0 )=y_0
Resolver: (d^2 y)/(dx^2 )=f(x,y,y^') (3)
Sujetaa: y(x_0 )=y_0,y^' (x_0 )=y_1
Son problemas de valores iniciales de primer y segundo orden, respectivamente. Estos problemas son fáciles de interpretar en términos geométricos. Para (2) se busca unasolución y(x) de la ecuación diferencial y’=f(x,y) en el intervalo I que contiene a x_0 de modo que su gráfica pase por el punto especificado (x_0,y_0) en la figura se muestra una curva solución encolor gris.

Para (3) se desea encontrar una solución y(x) de la ecuación diferencial y’’=f(x,y,y´) en un intervalo I que contiene a x_0, de manera que su gráfica pase no solo por (x_0,y_0) sino quela pendiente de la curva en este punto sea el número y_1. En la figura se muestra una curva solución en color gris. Las palabras condiciones iniciales derivan de sistemas físicos donde la variableindependiente es el tiempo “t” y donde y(t_0 )=y_0 y y^' (t_0 )=y_1 representan la posición y la velocidad, respectivamente, de un objeto en algún tiempo inicial t_0

Resolver un problema de...