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Métodos de prueba

Pruebas, no importa cuán simple o complicado, son el corazón y el alma de las matemáticas. Juegan un papel central en su desarrollo y garantizar la exactitud de los resultados matemáticos. No hay resultados se aceptan como verdaderas a menos que puedan demostrar mediante el razonamiento lógico.

Proposición

Una proposición (o declaración) es una oración declarativa quepuede ser verdadera o falsa, pero no ambos. A menudo se denota con la letra p, q, r, s, o t.

Proposición compuesto

Una proposición compuesta está formada por la combinación de dos o más proposiciones simples, utilizando operadores lógicos: ^ (y), (o), (no) (implica), y (si y sólo si). El pq conjunción de dos proposiciones p y q es verdadero si y sólo si ambos componentes son: su p qdisyunción es verdadera si al menos uno de los componentes es cierto. las negaciones p ~ tiene el valor de verdad opuesto de p. pq una implicación (p implica q leer o si p, entonces q) es falso si p premisa es verdadera y la q conclusión es falsa. pq un incondicional (leer p si y sólo si q) es verdadero si y sólo si ambos componentes tienen el mismo valor de verdad.

Tabla A.1 muestra la tabla de verdadde las proposiciones compuesto varias correspondientes a los diferentes pares posibles de valores de verdad de py q.
tres implicaciones nuevo puede ser construido a partir de una implicación p dado q Ellos son los q p contrario, inverso ~ p ~ q, y la contraposición y la ~ q ~ p.
un tautología es una proposición compuesta es siempre cierto. una contradicción es una proposición compuesta que essiempre falce. Una contingencia es una proposición compuesta que no es ni una tautología ni una contradicción.
Equivalencia lógica

Dos proposiciones p y q son compuestos lógicamente equivalentes si tienen los mismos valores de verdad en todos los casos, simbolizado por p, q. Por ejemplo p q p q p y q q p.
Prueba métodos

Un teorema de la matemática es una proposición verdadera. Teoremas son amenudo como consecuencias de HC, donde H denota la hipótesis del teorema y C Demostrando su conclusión como un teorema significa verificar que el hc proposición es una tautología. Esta sección presenta seis métodos estándar para probar teoremas: a prueba de vacío, prueba de trivial, la prueba directa, prueba indirecta, la prueba por causas y la prueba existencia (véase la Figura A1) la prueba devacío y trivial, en general, partes de la prueba más grande y más complicado.
Prueba de vacío.

supongamos que la hipótesis H de la hc implicación es falsa. A continuación, la implicación es cierto independientemente de si el c conclusión es verdadera o falsa. Así, si la hipótesis se puede demostrar que es falsa, el teorema es verdadero hc por defecto; tal prueba es una prueba de vacío. Pruebade vacío, aunque raros, son necesarios para atender casos especiales.
Ejemplo A.1
Considere la posibilidad de la declaración, si 1 = 2, luego 3 = 4. Dado que la hipótesis es falsa, la proposición es verdadera vacuamente.
Prueba de Trivial

Supongamos que el c celebración del h c implicación es verdadera. Una vez más, la implicación es verdadera independientemente del valor de verdad de h. Porconsiguiente, si c puede demostrar que es verdad, como una prueba se llama prueba de trivial.

Ejemplo A.2
Considere la posibilidad de la declaración, si 1 = 2, luego en París está en Francia. Esta declaración es trivialmente cierto ya que la conclusión es verdadera.
Prueba directa

En una prueba directa de la hc teorema, se asume la hipótesis h Thet dada es verdadera. Utilizando las leyesde la lógica o hechos previamente conocidos, a continuación, establecer el c conclusión deseada como el paso final de la barbilla de las consecuencias: h c1, c2,..., C1 y C. Cn entonces h c.
El siguiente ejemplo ilustra este método.
A menudo, los teoremas se presentan en forma de oraciones, así que primero reescribirlos simbólica y el trabajo con los símbolos, como muestra el nido de ejemplo....