SOLUCION DE ECUACIONES NO LINEALES

2.1. SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES NO LINEALES
2.1.0. INTRODUCCIÓN
2.1.1. MÉTODO DE PUNTO FIJO
2.1.2. MÉTODO DE NEWTON RAPSHÓN
2.1.3. MÉTODO DE LA SECANTE
2.1.4. MÉTODO DE LA BISECCIÓN
2.1.5. MÉTODO DE REGULA FALSI
2.1.6. ACELERACIÓN DE LA CONVERGENCIA
2.1.7. RAÍCES COMPLEJAS
2.1.7.1. MÉTODO DE NEWTON RAPHSÓN
2.1.7.2. MÉTODO DE MULLER
2.1.8. RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONESUSANDO LOS DIFERENTES MÉTODOS ANALIZADOS














2.1. SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES NO LINEALES

2.1.0. INTRODUCCIÓN
En este ítem trataremos sobre uno de los problemas más vastos de la aproximación numérica la solución de ecuaciones no lineales analizado de diferentes maneras desde la óptica analítica y su interpretación geométrica.
En el campo de la tecnología principalmente enla ingeniería nos encontramos generalmente con el siguiente problema determinar las raíces de la ecuación f(x) = 0.
Como la teoría de la difracción de la luz se precisa de la siguiente ecuación; x-tanx=0 .
Para determinar las orbitas planetarias se precisa de la ecuación llamada ecuación de Kepler, x- a senx =b, para diversos valores de a y b.
Es decir f(x) puede ser una función de variablereal x, como es un polinomio en x, o como una función trascendente es decir:

O una función trascendente

Para dar solución a estos problemas existen distintos algoritmos o métodos para encontrar las raíces de f(x) = 0, pero debemos tener en cuenta que ninguno es general, pues en otras palabras no existe un método que funcione con todas las ecuaciones perfectamente.
Pero sólo en unreducido caso será posible obtener las raíces exactas de f(x) = 0, es decir cuando se trata de f(x) factorizable, en tal sentido tenemos:


Donde r1, r2; r3;…. rn; son las raíces de la ecuación es decir la solución al problema planteado. En el caso general se pueden obtener soluciones muy próximas a dichas raíces, esto utilizando métodos numéricos que serán visto en esta oportunidadiniciando con el Método de Punto fijo, que se conoce también como aproximaciones sucesivas de iteración funcional.
2.1.1. MÉTODO DE PUNTO FIJO
Este método es conocido también como aproximaciones sucesivas de iteración funcional .Supongamos que tenemos la ecuación
f(x)=0, (1)
De la cual nos interesadeterminar sus raíces, es decir un valor o valores de x = ri, i = 0,1,2,…n, en los reales, que al sustituirse se transforma en una igualdad dicha ecuación.
Primero: Lo que se debe de hacer es transformar la ecuación dada, en una ecuación equivalente usando el álgebra, es decir obtenemos
X=g(x), (2)Veamos algunos ejemplos como es que se realiza este paso:
Supongamos que se tienen:
a)
b)
De las cuales podemos obtener usando el álgebra:
Primera ecuación
Segunda ecuación
Segundo: Una vez determinado la expresión algebraica equivalente, el paso que se debe de seguir es; tantear una raíz, la cual se puede realizar por observación directa de la ecuación inicial.
Para decir en nuestrosejemplos tenemos que:
a) x = 2; b) x = 2, son valores cercanos a una raíz se denota el valor tanteado por X0
En general para determinar este valor inicial se recomienda bosquejar una gráfica de dicha ecuación, claro esta si es posible.
Tercero: Terminado el segundo paso se evalúa la relación encontrada en x0 denotándose el resultado de esta evaluación como x1, esto es
G(x0) = x1
Cuarto: Elsiguiente paso es comparar x1 con x0 , resultando dos alternativas:
1. Primero Alternativa. Que x1 = x0
Esto quiere decir que el valor que se ha elegido como valor inicial es una raíz de f(x) y el problema termina.
2. Segunda Alternativa. Que x1  x0
Este es el caso más frecuente e indica que x1 y x0 son diferentes de la raíz, puesto que si x = a no es una raíz entonces f(a)...