Solucion de ejercicios de pindyck

El Duopolio

SOLUCIONARIO PROBLEMAS

Profesor Guillermo Pereyra guillermopereyra@microeconomia.org www.microeconomia.org clases.microeconomia.org

1. Siendo la función de demanda P = 100 – 0.5(Q1 + Q2) y las funciones de costos CT1 = 5Q1, CT2 = 0.5Q2². a Hallar el equilibrio desde el punto de vista de Cournot. b Encontrar la solución de colusión. c ¿Qué ocurre si la empresa 1 actúa comolíder y la 2 como seguidora? Para encontrar la solución a la Cournot aplicaremos la regla IMg = CMg para cada duopolista para encontrar las funciones de reacción. 100Q1 – 0.5Q12 – 0.5Q1Q2 IT1 = PQ1 = (100 – 0.5Q1 – 0.5Q2)Q1 ∂IT1 IMg = = 100 − Q1 − 0.5Q2 , pero CMg1 = 5 ∂Q1 100 − Q1 − 0.5Q2 = 5 ⇒ Q1 = 95 − 0.5Q2 es la función de reacción Siguiendo el mismo procedimiento para el duopolista 2 : IT2 =PQ2 = (100 – 0.5Q2 – 0.5Q1)Q2 100Q2 – 0.5Q22 – 0.5Q1Q2 ∂IT2 IMg = = 100 − Q2 − 0.5Q1 , pero CMg2 = Q2 ∂Q2 100 − Q2 − 0.5Q1 = Q2 ⇒ Q2 = 50 − 0.25Q1 es la función de reacción Resolviendo a partir de las funciones de reacción (dos ecuaciones del tipo Q1 = f(Q2), Q2 = f(Q1)) se obtiene Q1* = 80 ;Q2* = 30. Reemplazando en la función inversa de demanda: P = 100 – 0.5(80 + 30) P* = 45. El grafico de laizquierda muestra la solución a la Cournot. En el encuentro de las funciones de reacción se halla Q1 = 80 y Q2 = 30. Como la función de reacción se obtiene de la aplicación de la condición IMg = CMg entonces Q1 = f(Q2) y Q2 = g(Q1) representan las mejores respuestas de cada duopolista al nivel de producción del otro duopolista. Por ejemplo si tomamos la función de reacción del duopolista 1: Q1 = 95 –0.5Q2. Si Q2 = 100 entonces para maximizar el beneficio lo mejor que puede hacer el duopolista 1 es producir Q1 = 95 – 0.5*100 Q1 = 45. Sin embargo si Q1 = 45 lo mejor que puede hacer el duopolista 2 para maximizar el beneficio es Q2 = 50 – 0.25*45 Q2 = 38.75. Esta

combinación Q1 = 45, Q2 = 38.75 no es una solución a la Cournot. Sin embargo si Q1 = 80, Q2 = 30 entonces se encuentra que cuandoel duopolista 2 produce 30 la mejor respuesta del duopolista 1 es producir 80 y cuando el duopolista 1 produce 80 la mejor respuesta del duopolista 2 es producir 30. En el equilibrio a la Cournot el beneficio obtenido por cada duopolista es: π1 = 80*45 – 5*80 = 3200. π2 = 30*45 – 0.5*30*30 = 900. El beneficio total en el mercado es: = 4100. ¿Es posible obtener un beneficio mayor? ¿Qué sucederíasi los duopolistas deciden coludir? La función de demanda es: P = 100 – 0.5Q (donde Q es el nivel de producción conjunta que deben decidir los duopolistas). El ingreso total bajo colusión es IT = (100 – 0.5Q)Q = 100Q – 0.5Q2. El ingreso marginal bajo colusión es: IMg = 100 – Q. Para determinar el nivel de producción que maximize el beneficio de los duopolistas coludidos hacemos: 100 – Q = CMg. Pero¿cuál de las funciones de CMg empleamos? CMg1 = 5 y CMg2 = Q. Dadas las funciones de CMg se puede concluir que para niveles de producción menores a 5 el CMg es menor en la empresa 2. Pero para niveles de producción mayores a 5 es más eficiente producir en la empresa 1 que tiene costos marginales constantes e iguales a 5. Como en el equilibrio a la Cournot cada empresa produce muy por encima de Q= 5 emplearemos la función de CMg de la empresa 1. 100 – Q = 5 Q* = 95 P = 100 – 0.5*95 P* = 52.5. El beneficio del duopolio bajo colusión es ahora: = 90*52.5 – 5*90 = 4275. ¿Qué hubiera sucedido si la producción se hubiera llevado adelante en la empresa 2? 100 – Q = Q Q* = 50 P = 100 – 0.5*50 P* = 75. Por lo tanto: = 75*50 – 0.5*50*50 = 2500. Resulta natural pensar que para maximizar el beneficiola producción bajo colusión debe generarse en la empresa más eficiente. También se observa que la producción bajo colusión es menor que la producción conjunta en la solución a la Cournot (110 en la solución a la Cournot, 95 en la solución bajo colusión). De otro lado el precio bajo colusión es mayor que el precio a la Cournot (75 bajo colusión y 45 a la Cournot). Como la empresa 2 no está...