Solucion De Sistemas Deecuaciones Lineales
Páginas: 13 (3237 palabras)
Publicado: 14 de julio de 2011
MLetodos NumLericos (SC.854)
SoluciLon de sistemas de ecuaciones lineales
c
M. Valenzuela 2007
(21 de agosto de 2007)
1. Matrices
DefiniciLon. 1 Una matriz n~m es un arreglo rectangular de elementos con n filas (o renglones) y
m columnas en el cual no sLolo es importante el valor de los elementos sino tambiLen su posiciLon en
el arreglo.
Ejemplo:
A = (aij) =
.
....
a11 a12E E E a1m
a21 a22 E E E a2m
...
...
. . .
...
an1 an2 E E E anm
.
....
(1)
Las matrices se denotan con mayLusculas (con negritas) y sus elementos con minLusculas.
2. Vectores
DefiniciLon. 2 Una matriz 1 ~ n,
B =
b11 b12 E E E b1n
, (2)
se le llama un vector renglLon de n dimensiones.
DefiniciLon. 3 Una matriz n ~ 1,
C =
.
....
c11
c12
...
c1n
.
...., (3)
se le llama un vector columna de n dimensiones.
Usualmente, los subL.ndices innecesarios se omiten, de manera que
y =
y1 y2 E E E ym
, (4)
denota un vector renglLon de m dimensiones, y
x =
.
....
x1
x2
...
xn
.
....
, (5)
denota un vector columna de n dimensiones. Los vectores se denotan con minLusculas y negritas.
La norma de un vector x se define de lasiguiente manera:
||x||p =
n
i=1
|xi|p
1/p
(6)
NLotese que
||x||2 =
n
i=1
|xi|2 = |x|, (7)
SoluciLon de sistemas de ecuaciones lineales MLetodos NumLericos (SC.854)
.
+
20V
10Ħ 5Ħ 10Ħ
R = 5Ħ 5Ħ 5Ħ
Figura 1: Circuito elLecitrico que puede ser descrito mediante un sistema de ecuaciones simultLaneas.
es decir, la magnitud del vector. NLotese tambiLen que||x||‡ = lim
p¨‡
n
i=1
|xi|p
1/p
= max
i
(|xi|) , (8)
es decir, el mLaximo de los valores absolutos de las componentes xi del vector.
3. Por quLe se requieren mLetodos para resolver sistemas de
ecuaciones lineales
Muchos problemas pueden ser descritos mediante un sistemas de ecuaciones lineales. Por ejemplo,
considere el circuito elLectrico mostrado en la figura 1.
Lasecuaciones de malla que describen a este circuito son las siguientes:
15ii . 5i2 = 20
.5i1 + 15i2 . 5i3 = 0
. 5i2 + 20i3 = 0
(9)
A partir de las ecuaciones de malla se pueden obtener todas las corrientes, voltajes, y pontencial de
los elementos del circuito. Por ejemplo, la corriente de la resistencia R es i1 . i2.
4. RepresentaciLon de sistemas de ecuaciones
Un sistema de ecuaciones linealessimulatLaneas de la forma
a11x1 + a12x2 + E E E + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + E E E + a2nxn = b2
...
an1x1 + an2x2 + E E E + annxn = bn
puede representarse mediante una matriz n ~ (n + 1).
A partir de la matriz A y el vector b
A =
.
....
a11 a12 E E E a1n
a21 a22 E E E a2n
...
...
. . .
...
an1 an2 E E E ann
.
....
(10)
b =
.
....
b1
b2
...
bn
.
....(11)
c
M. Valenzuela, 2007 (21 de agosto de 2007) PLagina 2
SoluciLon de sistemas de ecuaciones lineales MLetodos NumLericos (SC.854)
se forma la matriz aumentada
.A
=
.
....
a11 a12 E E E a1n b1
a21 a22 E E E a2n b2
...
...
. . .
...
...
an1 an2 E E E ann bn
.
....
(12)
Esta matriz aumentada representa la ecuaciLon vectorial Ax = b.
5. Ejemplo de circuitoselLectricos
Definiendo R, i, y v:
R =
.
.
15 .5 0
.5 15 .5
0 .5 20
.
. (13)
i =
.
.
i1
i2
i3
.
. v =
.
.
20
00
.
. (14)
Podemos expresar el juego de ecuaciones como
Ri = v =
.
.
15 .5 0
.5 15 .5
0 .5 20
.
.
.
.
i1
i2
i3
.
. =
.
.
20
00
.
. (15)
Que puede representarse mediante la matriz aumentada:
.R
=
.
.
15 .5 0 20
.5 15 .5 0
0 .5 20 0
.
. (16)
6.Operaciones elementales de renglLon
Como la matriz aumentada .A representa un sistema de ecuaciones simultLaneas, es posible realizar
las siguientes operaciones elementales de renglLon manteniendo las igualdades de las ecuaciones
representadas:
Multiplicar un renglLon por una constante
Multiplicar un renglLon por una constante y sumarlo a otro renglLon
Los mLetodos de soluciones...
SoluciLon de sistemas de ecuaciones lineales
c
M. Valenzuela 2007
(21 de agosto de 2007)
1. Matrices
DefiniciLon. 1 Una matriz n~m es un arreglo rectangular de elementos con n filas (o renglones) y
m columnas en el cual no sLolo es importante el valor de los elementos sino tambiLen su posiciLon en
el arreglo.
Ejemplo:
A = (aij) =
.
....
a11 a12E E E a1m
a21 a22 E E E a2m
...
...
. . .
...
an1 an2 E E E anm
.
....
(1)
Las matrices se denotan con mayLusculas (con negritas) y sus elementos con minLusculas.
2. Vectores
DefiniciLon. 2 Una matriz 1 ~ n,
B =
b11 b12 E E E b1n
, (2)
se le llama un vector renglLon de n dimensiones.
DefiniciLon. 3 Una matriz n ~ 1,
C =
.
....
c11
c12
...
c1n
.
...., (3)
se le llama un vector columna de n dimensiones.
Usualmente, los subL.ndices innecesarios se omiten, de manera que
y =
y1 y2 E E E ym
, (4)
denota un vector renglLon de m dimensiones, y
x =
.
....
x1
x2
...
xn
.
....
, (5)
denota un vector columna de n dimensiones. Los vectores se denotan con minLusculas y negritas.
La norma de un vector x se define de lasiguiente manera:
||x||p =
n
i=1
|xi|p
1/p
(6)
NLotese que
||x||2 =
n
i=1
|xi|2 = |x|, (7)
SoluciLon de sistemas de ecuaciones lineales MLetodos NumLericos (SC.854)
.
+
20V
10Ħ 5Ħ 10Ħ
R = 5Ħ 5Ħ 5Ħ
Figura 1: Circuito elLecitrico que puede ser descrito mediante un sistema de ecuaciones simultLaneas.
es decir, la magnitud del vector. NLotese tambiLen que||x||‡ = lim
p¨‡
n
i=1
|xi|p
1/p
= max
i
(|xi|) , (8)
es decir, el mLaximo de los valores absolutos de las componentes xi del vector.
3. Por quLe se requieren mLetodos para resolver sistemas de
ecuaciones lineales
Muchos problemas pueden ser descritos mediante un sistemas de ecuaciones lineales. Por ejemplo,
considere el circuito elLectrico mostrado en la figura 1.
Lasecuaciones de malla que describen a este circuito son las siguientes:
15ii . 5i2 = 20
.5i1 + 15i2 . 5i3 = 0
. 5i2 + 20i3 = 0
(9)
A partir de las ecuaciones de malla se pueden obtener todas las corrientes, voltajes, y pontencial de
los elementos del circuito. Por ejemplo, la corriente de la resistencia R es i1 . i2.
4. RepresentaciLon de sistemas de ecuaciones
Un sistema de ecuaciones linealessimulatLaneas de la forma
a11x1 + a12x2 + E E E + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + E E E + a2nxn = b2
...
an1x1 + an2x2 + E E E + annxn = bn
puede representarse mediante una matriz n ~ (n + 1).
A partir de la matriz A y el vector b
A =
.
....
a11 a12 E E E a1n
a21 a22 E E E a2n
...
...
. . .
...
an1 an2 E E E ann
.
....
(10)
b =
.
....
b1
b2
...
bn
.
....(11)
c
M. Valenzuela, 2007 (21 de agosto de 2007) PLagina 2
SoluciLon de sistemas de ecuaciones lineales MLetodos NumLericos (SC.854)
se forma la matriz aumentada
.A
=
.
....
a11 a12 E E E a1n b1
a21 a22 E E E a2n b2
...
...
. . .
...
...
an1 an2 E E E ann bn
.
....
(12)
Esta matriz aumentada representa la ecuaciLon vectorial Ax = b.
5. Ejemplo de circuitoselLectricos
Definiendo R, i, y v:
R =
.
.
15 .5 0
.5 15 .5
0 .5 20
.
. (13)
i =
.
.
i1
i2
i3
.
. v =
.
.
20
00
.
. (14)
Podemos expresar el juego de ecuaciones como
Ri = v =
.
.
15 .5 0
.5 15 .5
0 .5 20
.
.
.
.
i1
i2
i3
.
. =
.
.
20
00
.
. (15)
Que puede representarse mediante la matriz aumentada:
.R
=
.
.
15 .5 0 20
.5 15 .5 0
0 .5 20 0
.
. (16)
6.Operaciones elementales de renglLon
Como la matriz aumentada .A representa un sistema de ecuaciones simultLaneas, es posible realizar
las siguientes operaciones elementales de renglLon manteniendo las igualdades de las ecuaciones
representadas:
Multiplicar un renglLon por una constante
Multiplicar un renglLon por una constante y sumarlo a otro renglLon
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