solucion general de ecuaciones

SOLUCIÒN GENERAL DE UNA ECUACIÒN DE TERCER GRADO Y CUARTO GRADO
TERCER GRADO
La ecuación cúbica o también conocida como la ecuación de tercer grado es aquella ecuación que obedece a un polinomiode tercer grado de la forma ax3 + bx2 + cx +d igual a cero.

Donde el coeficiente “a” es necesariamente diferente a cero (En el caso que a = 0 se obtiene una ecuación cuadrática o de grado dos)Método de solución de la ecuación cúbica

Lo primero es dividir la ecuación completa por el primer término ¨a¨

Reescribiendo la ecuación se tiene forma canónica
Donde y por último
A continuaciónse hace la sustitución para eliminar el término x2 de la ecuación

Que simplificando equivale a que también puede escribirse como
(Ecuación cúbica reducida)
Donde y
Ahora sea en la ecuaciónreducida

La última ecuación se hace cero si

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
Cuyas soluciones son
Sustituyendo ambas soluciones en * se obtiene

Cuyo valor nos sirvepara encontrar x dado que
Pero de esta forma solo obtenemos una raíz (solución de la ecuación) y como la ecuación es de tercer grado debemos encontrar 3 soluciones  (lo cual se garantiza gracias alteorema fundamental del álgebra) entre reales y complejas.
Para encontrar las dos soluciones restantes se procede a dividir a la ecuación cúbica reducida por
Z - Z1
Siendo
La división esexacta ya que z1 es solución de Z3 + pz + q = 0
Dividiendo se tiene

Por tanto se tiene. Solo nos interesa el Segundo factor

Ya que del primero sabemos que si z = z1 la ecuación se hace cero.
Esuna ecuación de segundo grado con soluciones

En conclusión las tres soluciones son

Nuevamente recordando que x = z – j/3
La raíz cuadrada que contiene a nos ayuda a determinar cuántassoluciones reales o complejas posee la ecuación
Si entonces la ecuación posee una solución real y dos complejas
Si las tres raíces son reales. Donde al menos 2 son iguales.
Si Las tres raíces son...