Solucionario tema 11 Matemáticas 1º Bach SM

Solucionario

11

Derivadas y representación gráfica
ACTIVIDADES INICIALES

11.I.

Escribe las siguientes expresiones como exponenciales de la base indicada.
b) ͙x, base 10
ෆ

a) x3, base 2
a) x3, base 2; x3 ϭ 2log

2

x3

ϭ 23 log
log10 ͙x
ෆ

b) ͙x, base 10; ͙x ϭ 10
ෆ
ෆ
11.II.

2

d) 2x, base e

c) sen x, base e

c) sen x, base e; sen x ϭ elog

x

1
ᎏᎏlog10 x
2

ϭ 10

d) 2x, base e; 2x ϭ elog

x

e

2

e

ϭ eln (sen x)

sen x

ϭ ex log

e

2

ϭ ex ln 2

Toma logaritmos en las siguientes expresiones y aplica las propiedades de los mismos.
a) f (x) ‫ ؍‬x4

b) f (x) ‫ ؍‬ex

c) f(x) ‫ ؍‬xx

d) f(x) ‫( ؍‬sen x)x؉3

a) f (x) ϭ x4; ln f (x) ϭ 4 ln x

c) f(x) ϭ xx; ln f(x) ϭ x ln x

b) f (x) ϭ e ; ln f (x) ϭ x ln eϭ x

d) f(x) ϭ (sen x)xϩ3; ln f(x) ϭ (x ϩ 3) ln (sen x)

x

EJERCICIOS PROPUESTOS
11.1.

Comprueba, utilizando la derivada de la función inversa, que la derivada de la función f (x) ‫͙ ؍‬x es la que
ෆ
ya conoces.
1
(͙x )2 ϭ x. Entonces, (2͙x)(͙x )Ј ϭ 1, por lo que (͙x )Ј ϭ ᎏᎏ.
ෆ
ෆ ෆ
ෆ
x
2͙ෆ

11.2.

Calcula la derivada en x ‫ 11 ؍‬de la inversa de la función f(x) ‫ ؍‬x3 ؉ x ؉1.
Si g es la inversa de f, hay que calcular gЈ(11).
g(f (x)) ϭ x, así que g(x3 ϩ x ϩ 1) ϭ x, por lo que gЈ(x3 ϩ x ϩ 1) и (3x2 ϩ 1) ϭ 1, es decir, gЈ(x3 ϩ x ϩ 1) ϭ
1
ϭ ᎏᎏ.
3x2 ϩ 1
1
1
Como x3 ϩ x ϩ 1 ϭ 11 solo si x ϭ 2, tenemos que gЈ(11) ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ.
3 и 22 ϩ 1
13

11.3*. Halla la derivada de la inversa de la función f (x) ‫ ؍‬x ؉ ͙ෆ en el punto x ‫.3؊ ؍‬
x ؉ 5
Si g es la inversa de f,hay que calcular gЈ(Ϫ3).

΂

΃

1
g(f (x)) ϭ x, así que g(x ϩ ͙ෆ ) ϭ x, por lo que gЈ(x ϩ ͙x ϩ 5 ) 1 ϩ ᎏᎏ Ј ϭ 1, es decir,
x ϩ 5
ෆ
2͙ෆ
x ϩ 5
1
gЈ(x ϩ ͙x ϩ 5 ) ϭ ᎏᎏ . Hay que encontrar x para que x ϩ ͙x ϩ 5 ϭ Ϫ3, o sea, x ϩ 5 ϭ x2 ϩ
ෆ
ෆ
1
1 ϩ ᎏᎏ
2͙ෆ
x ϩ 5
ϩ 6x ϩ 9, de donde x ϭ Ϫ1 y x ϭ Ϫ4. Al comprobar las soluciones vemos que Ϫ1 no lo es y Ϫ4 sí, con lo
1
2
1
que gЈ(Ϫ3) ϭᎏᎏ ϭ ᎏ ϭ ᎏᎏ.
3
1
1
1 ϩ ᎏᎏ
1 ϩ ᎏᎏ
2
2͙ෆෆ
Ϫ4 ϩ 5
5

11.4.

x
Calcula la ecuación de la tangente a la curva y ‫͙ ؍‬ෆ en el punto de abscisa 32, previa deducción de la
derivada de dicha función.
5
5
5
5
5
4 5
1
x
Como (͙ෆ) ϭ x, tenemos que 5(͙x) (͙x)Ј ϭ 1, es decir, (͙x)Ј ϭ ᎏᎏ. Si x ϭ 32, la derivada de y ϭ ͙x en
ෆ
ෆ
ෆ
ෆ
5
4
5͙x
ෆ
1
1
x
1
8
x ϭ 32 es ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ, porlo que la ecuación de la recta pedida será y Ϫ 2 ϭ ᎏᎏ (x Ϫ 32) ⇒ y ϭ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ.
5
80
80
80
5
4
5͙32
ෆ

96

Solucionario

11.5. Obtén las derivadas de las funciones siguientes.
3

4

a) f(x) ‫͙ ؍‬x ؉ 2͙x
ෆ
ෆ

3

5

b) f (x) ‫͙ ؍‬x ؊ 3͙x2 ϩ x ؉ 1
ෆ
ෆ

1

1

1

4

c) f (x) ‫͙3 ؍‬x ؉ ͙x3 ؊ x2 ؊ 2x
ෆ
ෆ

2

1 ᎏᎏϪ 1
1 ᎏᎏϪ 1
1
1
a) f Ј(x) ϭ ᎏᎏ x 3 ϩ 2 и ᎏᎏx 2 ϭ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ
3
3
2
x
͙ෆ
3͙x2
ෆ

3
1
3 1
c) fЈ(x) ϭ ᎏᎏ и ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ и ᎏᎏ Ϫ 2x Ϫ 2
5
4
5 ͙x4
4 ͙ෆ
ෆ
x

1 ᎏᎏϪ 1
2 ᎏᎏϪ 1
1
1
b) f Ј(x) ϭ ᎏᎏ x 4 Ϫ 3 и ᎏᎏ x 3 ϩ 1 ϭ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϩ 1
4
3
4
3
3
4͙ෆ
x
͙ෆ
x
5

11.6. ¿Existe algún punto en la gráfica de y ‫͙ ؍‬x en el que la tangente sea paralela a la recta 3x ؊ y ‫?0 ؍‬
ෆ
5
1
Como la pendiente de la recta dada es 3, y laderivada de y ϭ ͙x es yЈ ϭ ᎏᎏ, nos piden ver si hay algún valor
ෆ
5
5͙x4
ෆ
1
1
de x para el que ᎏᎏ ϭ 3, ecuación que obviamente tiene solución, dada por la ecuación ᎏᎏ ϭ 155, es decir,
5
x4
5͙ x4
ෆ
1
1
1
1
x ϭ Ϯ ᎏᎏ, por lo que los puntos pedidos son los de abscisas Ϯ ᎏᎏ y ordenada Ϯ 5 ᎏᎏ = Ϯ ᎏᎏ
4
4
4
4
5
5
5
15
15
15
15
͙ෆ
͙ෆ
͙ෆ
͙ෆ

Ί๶

11.7. Halla las derivadas delas siguientes funciones.
x
͙ෆ
a) f(x) ‫—— ؍‬
x2
4

x
b) f (x) ‫—— ؍‬
5
͙x3
ෆ

Ϫ ᎏᎏ
x
͙ෆ
a) f (x) ϭ ᎏᎏ ϭ x 4
x2
4

7 Ϫ ᎏᎏ
Ϫ7
Ϫ7
f Ј(x) ϭ Ϫᎏᎏ x 4 ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
4
4
4
11
4͙x
ෆ 4x2 ͙x3
ෆ

7

11

2

ᎏᎏ
x
b) f (x) ϭ ᎏᎏ ϭ x 5
5
3
x
͙ෆ

2
f Ј(x) ϭ ᎏᎏ
5
5͙x3
ෆ

11.8. Dada la función f (x) ‫؍‬

3

ෆෆ
͙5x ؉ 3:

a) Calcula f؅(1).
b) Obtén f ؊1(x) y...