Solucionario

Tema 6 – Derivadas. Técnicas de derivación – Matemáticas CCSSII – 2º Bachillerato

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TEMA 6 – DERIVADAS
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO, APLICANDO LA DEFINICIÓN EJERCICIO 1 : Halla la derivada de la siguiente función en x = 1, aplicando la definición de derivada: f x   x 2  1
f  x  f   1 ( x 2  1)  2 (x  1).(x  1) x 2 1  lim  lim  lim  lim ( x  1)  2 x 1 x 1 x  1x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 EJERCICIO 2 : Calcula, utilizando la definición de derivada, f´ (1) para la función f x   . 3 x 1 0 f  x  f   1 1 1 Solución: f ' 1  lim   lim 3  lim  x 1 x 1 x 1 x  1 x 1 3 3

Solución: f ' 1  lim

EJERCICIO 3 : Halla la derivada de la función f(x)=(x – 1) en x=2, aplicando la definición de derivada Solución: f ' 2  lim

2x  12  1  lim x 2  2x  1  1  lim x 2  2x  lim xx  2   lim x  2 f x  f 2  lim x2 x2 x2 x 2 x2 x 2 x 2 x  2 x2 x  2 x 2
2 . x

EJERCICIO 4 : Aplicando la definición de derivada, calcula f' 1, siendo f x  

2 2  2x 2 f  x  f   1 x x  lim 2  2x  lim 2(1  x )  lim  2  2 Solución: f ' 1  lim  lim  lim x 1 x  1 x1 x  1 x 1 x 1 x 1  x 1x x 1 ( x  1) x x 1 x

FUNCIÓN DERIVADA, APLICANDO LA DEFINICIÓN EJERCICIO 5 : Halla f´(x), aplicando la definición de derivada : a) f (x)  x 2  1 Solución: a) f ' x   lim b) f x  
x 1 3

c) f x  2x 2

d) f x  

1 x

e) f x  

2x 3

x  h 2  1  x 2  1  lim x 2  h 2  2xh  1  x 2  1  f x  h  f x   lim h h h h 0 h 0 h 0

 

h 2  2xh h h 2x   lim  lim h  2x   2x h h h 0 h 0 h 0 x  h  1  x  1 x  h  1  x 1 h f x  h  f x  h 1 3 3  lim 3 b) f ' x   lim  lim  lim 3  lim  h h h h 0 h 0 h 0 h 0 h h 0 3h 3  lim f ' x   lim  lim f x  h  f x  2x  h 2  2 x 2 2 x 2  h 2  2xh  2x 2 2x 2  2h 2  4xh  2 x 2  lim  lim  lim  h h h h h 0 h0 h0 h0

c)





2h 2  4xh h 2h  4 x   lim  lim  2h  4x   4x h h h 0 h 0 h 0 x  x  h  xxh h 1 1 f x  h  f x  h x  h x  lim x x  h   lim x x  h   lim x x  h   lim d) f ' x   lim  lim  h h h h h h 0 h 0 h0 h 0 h 0 h 0 hxx  h  1 1  lim  h 0 x x  h  x 2

f x  h  f x  e) f ' x   lim  lim h h 0 h 0

2x  h  2x 2x  2h  2x 2h  2h 2 3 3  lim 3  lim 3 lim  h h h 0 h 0 h h 0 3h 3

Tema 6 – Derivadas. Técnicas de derivación – Matemáticas CCSSII – 2º Bachillerato
CÁLCULO DE DERIVADAS INMEDIATAS EJERCICIO 6 : Halla la función derivada de:
a) f x   3 x 4  2 x  5 b) f x   e x
c) f x   2 x 3  x 2  1

2

d) f x  ln x h) f x  cos x
l) f x  xe x

e) f x  2 x 5 

x 3

f) f x  sen x j) f x  tg x
n) fx  x 2 sen x

g) f x  x 3  3 x 2 
k) f x 
ñ) f x  r) f x 

1 5

i) f x  4 x 3  3 x 2  2

x2 2 2x  1
1 x 2 x 3 3x 2 2x  3

m) f x  

3x  1 x2 2

o) f x   x ln x
s) f x   3 x  sen x

p) f x 

x

2 x

q) f x 

3x  1 ex

Solución: a) f ' x   1 2x 3  2
e) f ' x   10x 4  1 3

b) f ' x   e x f ) f ' x   cos xj) f ' x   1  tg 2 x  1

c) f ' x   6x 2  2x g) f ' x   3x 2  6x

d) f ' x  

1 x

h ) f ' x  senx

i) f ' x   12x 2  6x

k) f ' x 

2x 2 x  1 x 2  2  2





cos 2 x  2x 2  2x  4

 2x  12
3 x 2  2   3x  12 x



4x 2  2x  2x 2  4

2x  12

 2x  12

l) f ' x   e x  xe x  1  x e x n) f ' x  2x senx  x2 cos x

  3x 2  6  6x 2  2x  3x 2  2x  6   2 2 2 2 2   2   2  2  2 x x x  2x x  3   x 2   2x 2  6x  1  x 2  x 2  6x  1 1 ñ) f ' x   
m) f ' x 

x  32
2 x
2

x  32

x  32


o) f ' x  ln x  x 
2  3x ex

1  ln x  1 x

p) f ' x 

1 2 x



q) f ' x 

3e x   3x  1e x

e x 3  3x  1

 e
...