Solucionario

ioSección 4.3 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constontes

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16. (1 - x’)y” - 2xy’ = 0; y, = 1 417. x2yn - xy’ + 2y = 0; y1 = x sen(ln x) 18. x2yu - 3xy’ + 5y = 0; y1 = x2 cos(ln x) 4 19. (1 + 2x)y” + 4xy’ - 4y = 0; y1 = F2* 20. (1 + x)y” + xy’ - y = 0; y1 = x J 21. x2y” - xy’ + y = 0; y; = x
22. x2y” - 2oy = 0; y, = x-4 J23. x2y” - 5xy’ + 9y = 0;

24. x2yv + xy’ + y = 0;y1 = x3 In x yl = cos(ln x)

Aplique el método de reducción para determinar una solución de la ecuación no homogénea dada en los problemas 25 a 28. La función indicada, y,(x), es una solución de la ecuación homogénea asociada. Determine una segunda solución de la ecuación homogénea y una solución particular de la ecuación no homogénea.
425. y” - 4y = 2; y1 = em2” J26. y” + y’ = 1; y1 = 1 :z;” 1 i;’ 1 i; z *““;, = ; e” I 1 . II 7

29. a) Compruebe por sustitución directa que la ecuación (5) satisface la ecuación (3). b) Demuestre que W(yr(x), yz(x)) = u’yt2 = e-Ip(X)dx.
Problema para discusión

!

30. a) Haga una demostración convincente de que la ecuación de segundo orden uy” + by’ + cy = 0, a, b y c constantes siempre tiene cuando menos una solución de la forma yl = emI’,donde mr es una constante. b) Explique por qué la ecuación diferencial en la parte a) debe tener, en consecuencia, una segunda solución de la forma y2 = emp o de la forma y2 = xemlx, donde mr y m2 son constantes. c) Vuelva a revisar los problemas 1 a 10. ¿Puede explicar por qué las respuestas a los problemas 5 a 7 no contradicen las afirmaciones en las partes a) y b)?

ECUACIONES LINEALESHOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES
n Ecuaciôn auxiliar H Raíces de una ecuaci& auxiliar cuadrática n Fórmula de Euler n Formas de la solución general de una ecuación diferencial Iineal y homogénea de segundo orden con coeficientes constantes W Ecuaciones diferenciales de orden superior n Raíces da ecuaciones auxiliares de grado mayor que dos

Hemos visto que la ecuación lineal de primer orden,dy/dx + uy = 0, donde a es una constante, tiene la solución exponencial y = cl eear en el intervalo (--, -); por consiguiente, lo más natural

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CAPíTULO

4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

es tratar de determinar si existen soluciones exponenciales en (-, -) de las ecuaciones lineales homogéneas de orden superior del tipo
a,y(“) + a,-ry(n-‘) + * * * + a*y” + qy’ + UOY = 0,(1)

en donde los coeficientes ai, i = 0, 1, . . . , n son constantes reales y u, # 0. Para nuestra sorpresa, todas las soluciones de la ecuación (1) son funciones exponenciales o están formadas rl partir de funciones exponenciales.

Método de solución Comenzaremos con el caso especial de la ecuación de segundo
orden ay” + by’ + cy = 0.
(2)

Si probamos con una solución de la forma y =emr, entonces y’ = memr y y” = m2emï, de modo que la ecuación (2) se transforma en am2emr + bmem’ + ce- = 0 o sea em’(am2 + bm + c) = 0.

Como emr nunca es cero cuando x tiene valor real, la única forma en que la función exponencial satisface la ecuación diferencial es eligiendo una m tal que sea una raíz de la ecuación cuadrática am2+bm+c=0. (3)

Esta ecuación se llama ecuacián auxiliar oecuación característica de la ecuación diferencial (2). Examinaremos tres casos: las soluciones de la ecuación auxiliar que corresponden a raíces reales distintas, raíces reales e iguales y raíces complejas conjugadas.
CASO 1: Raíces reales distintas

Si la ecuación (3) tiene dos raíces reales distintas, rnl y mz, llegamos a dos soluciones, yt = emlx y y2 = emg. Estas funciones son lineahnenteindependientes en (-00, -) y, en consecuencia, forman un conjunto fundamental. Entonces, la solución general de la ecuación (2) en ese intervalo es y= cle mlx + c2emp.
CASO II: Raíces reales e iguales

(4)

Cuando rn1 = m2 llegamos, necesariamente, sólo a una solución exponencial, yt = emlX. Según la fórmula cuadrática, rnl = -b/2a porque la única forma de que rnl = rn2 es que b* - 4ac = 0. Así,...