Soluciones exactas

Soluciones exactas
Veamos una ecuación simple  la cual al integrar nos conduce a xy=c
Para abordar el concepto de soluciones exactas, tomemos unafunción z=f(x,y) en derivadas parciales de primer orden continua en la vecindad R de xy tal que la diferencial total dada es  
Si tomamos una familia decurvas constantes f(x,y)=c la ecuación diferencial se reduce a   , estas consideración nos conduce a la siguiente conclusión: dada una familia decurvas f(x,y)=c  es posible generar una ecuación diferencial de primer orden para calcular la diferencial total.
Definición de ecuación diferencial exacta
Se diceque una expresión diferencial

 es una diferencial exacta en una región R del plano xy si corresponde a la diferencial total de algunafunción f(x,y) una ecuación

se dice que es exacta si la expresión del primer miembro es una diferencial exacta.
Veamos los siguientes ejemplos:
 

es una ecuacióndiferencial exacta ya que la ecuación se puede expresar como

la expresión

es una ecuación diferencial exacta ya que

Sin embargo, para obtener lasolución no siempre es fácil obtener la expresión que se pueda expresar como una expresión diferencial total, más sin embargo mediante el teorema que acontinuación se enuncia encontrar dicha expresión no resulta tan complicado.
Teorema. Sea M(x,y) y N(x,y) funciones continuas, así como sus derivadas deprimer orden , dentro de la región R del plano xy. Entonces una condición necesaria y suficiente para que

sea una diferencial exacta es que