Solución de Ecuaciones Cuadráticas por Factorización
Páginas: 6 (1299 palabras)
Publicado: 22 de septiembre de 2015
Solución de Ecuaciones Cuadráticas por Factorización
Objetivo de Aprendizaje
Resolver ecuaciones cuadráticas usando técnicas de factorización y expresar la solución como un conjunto.
Introducción
Cuando un polinomio es igual a cierto valor (ya sea un entero u otro polinomio), el resultado es una ecuación. Una ecuación que puede ser escrita de la forma ax2 + bx + c = 0 sellama ecuación cuadrática. Podemos resolver estas ecuaciones cuadráticas usando las reglas del álgebra, aplicando técnicas de factorización donde sea necesario, y usando la Propiedad Cero de la Multiplicación.
La Propiedad Cero de la Multiplicación
La Propiedad Cero de la Multiplicación establece (¡en términos algebraicos, por supuesto!) algo que todos siempre hemos sabido: si el producto de dosnúmeros es 0, entonces por lo menos uno de los factores es 0.
Propiedad Cero de la Multiplicación
Si ab = 0, entonces ya sea a = 0 o b = 0, o ambos a y b son 0.
Esta propiedad puede parecer obvia, pero tiene importante implicaciones en cómo resolvemos ecuaciones cuadráticas: significa que si tenemos un polinomio factorizado igual a 0, podemos estar seguros de que al menos uno de sus factores estambién 0. Podemos usar este método para identificar soluciones de una ecuación.
Pero nos estamos adelantando — empecemos con un ejemplo de una ecuación cuadrática y pensemos en cómo resolverla. La ecuación 5a2 + 15a = 0 es una ecuación cuadrática porque puede escribirse como 5a2 + 15a + 0 = 0, que es equivalente a la forma ax2 + bx + c = 0, con c = 0.
Ejemplo
Problema
Resolver a en 5a2 +15a = 0
5a2 + 15a = 0
El problema nos pide resolver a; empecemos por factorizar el lado izquierdo de la ecuación
5(a2 + 3a) = 0
5 es factor común de 5a2 y 15a.
5a(a + 3) = 0
a es factor común un de a2 y 3a.
En este punto hemos factorizado completamente el lado izquierdo de la ecuación. Si sólo quisiéramos factorizar la expresión, podríamos parar aquí, pero recuerda que estamosresolviendo a de la ecuación.
Aquí es donde usamos la Propiedad Cero de la Multiplicación. Ya que toda la expresión es igual a cero, sabemos que por lo menos uno de los términos, 5ao (a + 3), tiene que ser igual a cero. Vamos a continuar con la solución de este problema igualando cada término a cero y resolviendo las ecuaciones.
5a = 0 a + 3 = 0
Igualar cada factor acero
a + 3 – 3 = 0 – 3
a = 0 a = -3
Resolver la ecuación
Solución
a = 0 o a = -3
Resultan dos valores posibles de a: 0 y -3. (Estos valores también se llaman raíces de la ecuación.) Para comprobar nuestras respuestas, podemos sustituir ambos valores directamente en nuestra ecuación original y ver si obtenemos una expresión válida para cadauna.
Comprobando a = 0
Comprobando a = -3
5a2 + 15a = 0
5a2 + 15a = 0
5(0)2 + 15(0) = 0
5(-3)2 + 15(-3) = 0
5(0) + 0 = 0
5(9) – 45 = 0
0 + 0 = 0
45 – 45 = 0
0 = 0
0 = 0
Sustituir estos valores en la ecuación original produce dos expresiones correctas, entonces sabemos que nuestros valores son correctos. Esta ecuación cuadrática, 5a2 + 15a = 0, tiene dos raíces: 0 y -3.
Podemos usar el ProductoCero de la Multiplicación para resolver ecuaciones cuadráticas de la forma ax2 + bx + c = 0. Primero factorizamos la expresión, y luego resolvemos cada una de las raíces.
Ejemplo
Problema
Resolver r.
r2 – 5r + 6 = 0.
r2 – 3r – 2r + 6 = 0
Expandir el término -5r usando dos coeficientes tales que su suma sea -5 y su producto sea 6.
(r2 – 3r) – (2r – 6) = 0
Agrupar términos
r(r –3) – 2(r – 3) = 0
Sacar los factores comunes de cada grupo
(r – 3)(r – 2) = 0
Usar la Propiedad Distributiva para sacar (r – 3) como un factor
r – 3 = 0
r – 2 = 0
Usar la Propiedad Cero de la Multiplicación para igualar cada factor a 0
r = 3
r = 2
Resolver la ecuación
Solución
r = 3 o r = 2
Las raíces de la ecuación original son 3 o 2
La solución de esta ecuación...
Objetivo de Aprendizaje
Resolver ecuaciones cuadráticas usando técnicas de factorización y expresar la solución como un conjunto.
Introducción
Cuando un polinomio es igual a cierto valor (ya sea un entero u otro polinomio), el resultado es una ecuación. Una ecuación que puede ser escrita de la forma ax2 + bx + c = 0 sellama ecuación cuadrática. Podemos resolver estas ecuaciones cuadráticas usando las reglas del álgebra, aplicando técnicas de factorización donde sea necesario, y usando la Propiedad Cero de la Multiplicación.
La Propiedad Cero de la Multiplicación
La Propiedad Cero de la Multiplicación establece (¡en términos algebraicos, por supuesto!) algo que todos siempre hemos sabido: si el producto de dosnúmeros es 0, entonces por lo menos uno de los factores es 0.
Propiedad Cero de la Multiplicación
Si ab = 0, entonces ya sea a = 0 o b = 0, o ambos a y b son 0.
Esta propiedad puede parecer obvia, pero tiene importante implicaciones en cómo resolvemos ecuaciones cuadráticas: significa que si tenemos un polinomio factorizado igual a 0, podemos estar seguros de que al menos uno de sus factores estambién 0. Podemos usar este método para identificar soluciones de una ecuación.
Pero nos estamos adelantando — empecemos con un ejemplo de una ecuación cuadrática y pensemos en cómo resolverla. La ecuación 5a2 + 15a = 0 es una ecuación cuadrática porque puede escribirse como 5a2 + 15a + 0 = 0, que es equivalente a la forma ax2 + bx + c = 0, con c = 0.
Ejemplo
Problema
Resolver a en 5a2 +15a = 0
5a2 + 15a = 0
El problema nos pide resolver a; empecemos por factorizar el lado izquierdo de la ecuación
5(a2 + 3a) = 0
5 es factor común de 5a2 y 15a.
5a(a + 3) = 0
a es factor común un de a2 y 3a.
En este punto hemos factorizado completamente el lado izquierdo de la ecuación. Si sólo quisiéramos factorizar la expresión, podríamos parar aquí, pero recuerda que estamosresolviendo a de la ecuación.
Aquí es donde usamos la Propiedad Cero de la Multiplicación. Ya que toda la expresión es igual a cero, sabemos que por lo menos uno de los términos, 5ao (a + 3), tiene que ser igual a cero. Vamos a continuar con la solución de este problema igualando cada término a cero y resolviendo las ecuaciones.
5a = 0 a + 3 = 0
Igualar cada factor acero
a + 3 – 3 = 0 – 3
a = 0 a = -3
Resolver la ecuación
Solución
a = 0 o a = -3
Resultan dos valores posibles de a: 0 y -3. (Estos valores también se llaman raíces de la ecuación.) Para comprobar nuestras respuestas, podemos sustituir ambos valores directamente en nuestra ecuación original y ver si obtenemos una expresión válida para cadauna.
Comprobando a = 0
Comprobando a = -3
5a2 + 15a = 0
5a2 + 15a = 0
5(0)2 + 15(0) = 0
5(-3)2 + 15(-3) = 0
5(0) + 0 = 0
5(9) – 45 = 0
0 + 0 = 0
45 – 45 = 0
0 = 0
0 = 0
Sustituir estos valores en la ecuación original produce dos expresiones correctas, entonces sabemos que nuestros valores son correctos. Esta ecuación cuadrática, 5a2 + 15a = 0, tiene dos raíces: 0 y -3.
Podemos usar el ProductoCero de la Multiplicación para resolver ecuaciones cuadráticas de la forma ax2 + bx + c = 0. Primero factorizamos la expresión, y luego resolvemos cada una de las raíces.
Ejemplo
Problema
Resolver r.
r2 – 5r + 6 = 0.
r2 – 3r – 2r + 6 = 0
Expandir el término -5r usando dos coeficientes tales que su suma sea -5 y su producto sea 6.
(r2 – 3r) – (2r – 6) = 0
Agrupar términos
r(r –3) – 2(r – 3) = 0
Sacar los factores comunes de cada grupo
(r – 3)(r – 2) = 0
Usar la Propiedad Distributiva para sacar (r – 3) como un factor
r – 3 = 0
r – 2 = 0
Usar la Propiedad Cero de la Multiplicación para igualar cada factor a 0
r = 3
r = 2
Resolver la ecuación
Solución
r = 3 o r = 2
Las raíces de la ecuación original son 3 o 2
La solución de esta ecuación...
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