Sopas

Tema 6 :
El modelo lineal II

El modelo lineal II
6.1 Distribución en el muestreo de los estimadores mínimo
cuadrático ordinarios.
6.2 Contraste de un conjunto de hipótesis lineales: casos
particulares.
6.3 Análisis de la varianza.
6.4 Intervalos de confianza.
6.5 Predicción puntual óptima.
6.6 Predicción por intervalo.
6.7 Contraste de permanencia estructural.
6.8 Predicción delmodelo en desviaciones.

6.1 Distribución en el muestreo
de los estimadores MCO
Y = Xβ + u

•

En el modelo:

•

El estimador de beta depende de las perturbaciones u:

ˆ
β = (X'X)-1 X'Y = (X'X)-1 X'(Xβ + u) = (X'X)-1 X'Xβ + (X'X)-1 X'u
ˆ
β = β + (X'X)-1 X'u
•

()

Sabemos que: E β = β

()

V β = σ 2 (X'X)-1

u → N (0, σ 2 I ) ⇒ β → N (β, σ 2 (X'X)-1 )

R q× k

q≤kr (R ) = q

•

Dada una matriz

•

Multiplicamos estimador de beta por R:

β → N (β, σ 2 (X'X)-1 ) ⇒ R β → N (Rβ, σ 2 R(X'X)-1 R ')

•

dado que las combinaciones lineales de variables normales se
hallan también distribuidas normalmente.
Por lo tanto:

Rβ − Rβ → N (0, σ 2 R(X'X)-1 R ')

•

Llamaremos H:

H = R(X'X)-1 R '

Rβ − Rβ → N (0, σ 2 H )

(

)

(

Rβ −Rβ ' H −1 Rβ − Rβ

σ2
•

Es decir:

)→χ

2
q

( Rβ − Rβ ) ' ( R(X'X) R ') ( Rβ − Rβ ) → χ
-1

σ

2

−1

2
q

•

(

Reescribiendo la ecuación:

)

(

Rβ − Rβ ' H −1 Rβ − Rβ

σ2

( (X'X)

-1

)

(

σ2

X'u ) ' R ' H −1R ( (X'X)-1 X'u )

σ
•

)=(

β − β ' R ' H −1R β − β

2

=

)=

u ' X(X'X)-1 R ' H −1R(X'X)-1 X'u

σ2

SustituyendoH:
−1

-1

-1

u ' X(X'X) R ' H R(X'X) X'u

σ

2

u ' X(X'X) R ' ( R(X'X) R ') R(X'X)-1 X'u
-1

=

-1

σ2

−1

•

Es decir:

( Rβ − Rβ ) ' ( R(X'X) R ') ( Rβ − Rβ ) = u ' Lu → χ
-1

σ

•

σ

2

Donde:

2

L = X(X'X) R ' ( R(X'X) R ') R(X'X)-1 X'
-1

•

−1

-1

−1

Problema: la presencia de sigma cuadrado desconocido.

2
q

•

Por otrolado sabemos que:

e ' e = u ' Mu
u → N (0, σ I ) ⇒
2

•

σ2

=

u ' Mu

σ2

→ χ 2n−k

Tenemos entonces dos formas cuadráticas:

u ' Mu

σ
•

e 'e

2

→χ

2

u ' Lu
n−k

σ

2

→χ

2
q

La condición para que estas dos formas cuadráticas sean
independientes es:

4.4- Independencia estocástica de
formas cuadráticas
•
•

Sea: X → N(0, σ I)
A y Bmatrices simétricas e idempotentes
2

• Rango(A) = k1 ≤ n
• Rango(B) = k2 ≤ n
• AB = 0 (n x n)

⎫
X'AX → χ k1 ⎪
2
⎪ X'AX / k1
σ
→ Fk1 ,k2
⎬
1
2 ⎪ X'BX / k 2
X'BX → χ k2
2
⎪
σ
⎭
1

2

•

En nuestro caso la condición es: ML = 0

L = X(X'X) R ' ( R(X'X) R ') R(X'X)-1 X'⎫
⎪
⎬ ML = 0
−1
⎪
M = I − X ( X ' X) X '
⎭
-1

•

-1

−1

Por lo tanto las dos formascuadráticas son independientes.

( Rβ − Rβ ) ' ( R(X'X) R ') ( Rβ − Rβ ) = u ' Lu → χ
−1

-1

σ2

e 'e

σ
•

2

=

(

σ2

)

u ' I − X ( X ' X) X ' u

Por lo tanto:

−1

σ

2

=

u ' Mu

σ

2

2
q

→ χ 2n−k

⎫
u ' Lu → χ q ⎪
2
⎪ u ' Lu / q
σ
→ Fq ,n − k
⎬
1
2
⎪ u ' Mu / n − k
u ' Mu → χ n − k
2
⎪
σ
⎭
1

2

•

Es decir:

( Rβ − Rβ) ' ( R(X'X) R ') ( Rβ − Rβ ) / q → F
F=
−1

-1

q ,n −k

e'e / (n − k )

( Rβ − Rβ ) ' ( R(X'X) R ') ( Rβ − Rβ ) → F
F=
−1

-1

q ,n −k

ˆ
σq
2

( Rβ − Rβ ) ' ( s R(X'X) R ') ( Rβ − Rβ ) → F
F=
-1

2

q

−1

q ,n − k

6.2 Contraste de un conjunto de
hipótesis lineales
•

Contrastar una hipótesis es verificar si el verdadero valor del
parámetro essignificativamente distinto del valor que suponemos en
la hipótesis inicial.

•

Formato general:

•

Si la hipótesis nula es cierta:

H 0 : Rβ = r

( Rβ − r ) ' ( R(X'X) R ') ( Rβ − r ) → F
F=
-1

ˆ
σ 2q

•

−1

q ,n −k

Dada una muestra se rechaza H0 si y sólo si el estadístico F > F1-α

•

Vamos a contrastar las siguientes hipótesis:

6.2.1) H0: βi = 0, es decir, la...